Faça isto para cada subespaço vetorial W subset R^n abaixo, isto é, encontre um sistema linear homogêneo em n variáveis cujo conjunto solução seja igual a W :
(a) W1 subset R^4 dado por W1=>=r[v1, v2, v3], onde v1=(0,1,-1,0), v2=(1,2,0,-1), v3=(2,1,1,2).

Passo 1

Queremos um sistema linear homogêneo em quatro variáveis (x1,x2,x3,x4) cujo conjunto solução seja exatamente
W1=>=rv1,v2,v3 com
v1=(0,1,-1,0), v2=(1,2,0,-1), v3=(2,1,1,2)
O método é achar o ortogonal de W1, ou seja, um vetor u tal que ucdot vi=0 para i=1,2,3.

Passo 2

Como v1,v2,v3 são independentes (checa-se que a única combinação linear que dá zero é trivial), dimW1=3. Em R^4, isso implica dim(W1^perp)=4-3=1. Logo basta uma única equação linear independente para definir W1.

Passo 3

Procuramos
Isso gera o sistema
Resolvendo, obtemos .

Passo 4

A equação homogênea que define W1 é
(-3,2,2,1)cdot(x1,x2,x3,x4)=0,
ou seja
-3x1+2x2+2x3+x4=0

Resposta

O sistema homogêneo cuja solução é exatamente W1 é
-3x1+2x2+2x3+x4=0

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