Sejam D=\{(2,1,-3),(2,4,-1),(-2,2,-5)\} um subconjunto de \mathbb{R}^{3} e W um subespaço de \mathbb{R}^{3} gerado por D.
(a) Verifique se D é L.I. ou L.D.
(b) Obtenha uma base para o subespaço W e escreva sua dimensão ( \operatorname{dim} W ). Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
D = \{(2,1,-3),\;(2,4,-1),\;(-2,2,-5)\}\subset\mathbb{R}^3
e define W=\mathrm{span}(D). Pede (a) verificar se D é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.) e (b) obter uma base de W e sua dimensão. Para isso usaremos a definição de independência linear e operações elementares em matrizes.

Passo 2

Para testar L.I. montamos a combinação linear nula
a\,(2,1,-3)+b\,(2,4,-1)+c\,(-2,2,-5)=(0,0,0)
que gera o sistema matricial
\begin{pmatrix} 2 & 2 & -2\\\\ 1 & 4 & 2\\\\ -3 & -1 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Escalonando a matriz dos coeficientes:
  1. Troca de linha L_1\leftrightarrow L_2.
  2. L_2\leftarrow L_2-2L_1, L_3\leftarrow L_3+3L_1.
  3. Normaliza L_2 e elimina em L_3.
    Obtemos a forma
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & -10 \end{pmatrix}
com pivôs não nulos em cada coluna.

Passo 3

Como a forma escalonada tem pivô em cada uma das três colunas, o único conjunto (a,b,c) que satisfaz o sistema é o trivial a=b=c=0. Logo D é linearmente independente.

Passo 4

Em \mathbb{R}^3 um conjunto de três vetores L.I. gera um subespaço de dimensão 3 e, portanto, forma uma base desse subespaço. Assim,
\{(2,1,-3),\,(2,4,-1),\,(-2,2,-5)\}
é uma base de W e
\dim W = 3.

Resposta

(a) D é linearmente independente.
(b) Uma base de W é \{(2,1,-3),\,(2,4,-1),\,(-2,2,-5)\} e \dim W = 3.

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