Sejam D=\{(2,1,-3),(2,4,-1),(-2,2,-5)\} um subconjunto de \mathbb{R}^{3} e W um subespaço de \mathbb{R}^{3} gerado por D.
(a) Verifique se D é L.I. ou L.D.
(b) Obtenha uma base para o subespaço W e escreva sua dimensão ( \operatorname{dim} W ). Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
D = \{(2,1,-3),\;(2,4,-1),\;(-2,2,-5)\}\subset\mathbb{R}^3
e define W=\mathrm{span}(D). Pede (a) verificar se D é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.) e (b) obter uma base de W e sua dimensão. Para isso usaremos a definição de independência linear e operações elementares em matrizes.
Passo 2
Para testar L.I. montamos a combinação linear nula
Como a forma escalonada tem pivô em cada uma das três colunas, o único conjunto (a,b,c) que satisfaz o sistema é o trivial a=b=c=0. Logo D é linearmente independente.
Passo 4
Em \mathbb{R}^3 um conjunto de três vetores L.I. gera um subespaço de dimensão 3 e, portanto, forma uma base desse subespaço. Assim,
\{(2,1,-3),\,(2,4,-1),\,(-2,2,-5)\}
é uma base de W e
\dim W = 3.
Resposta
(a) D é linearmente independente.
(b) Uma base de W é \{(2,1,-3),\,(2,4,-1),\,(-2,2,-5)\} e \dim W = 3.