Seja W \subset R^{3} o subespaço gerado por \beta=\{(1,0,0),(0,1,0)\}. Podemos afirmar que \beta é uma base ortonormalizada de W ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá:
  • O conjunto \beta=\{(1,0,0),(0,1,0)\}.
  • O subespaço W\subset\mathbb{R}^3 é o subespaço gerado por \beta (ou seja, W=\operatorname{span}(\beta)).
A pergunta é: Podemos afirmar que \beta é uma base ortonormalizada de W? Peça única: decidir se \beta é (ou não) uma base ortonormal de W e justificar.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar direitinho o que significa “base ortonormal” (vou explicar com calma como se estivéssemos estudando juntos):
  • Produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^3: para u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3),
\langle u,v\rangle = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3.
Isto é a regra padrão para calcular ângulo/projeções em \mathbb{R}^3.
  • Norma de um vetor u: é
\|u\| = \sqrt{\langle u,u\rangle} = \sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
  • Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles é zero.
  • Um conjunto de vetores é ortonormal se todos os vetores têm norma 1 (unitários) e são mutuamente ortogonais.
  • Uma base ortonormal de um subespaço W é um conjunto ortonormal que, além disso, gera W (ou seja, seu span é W) — então é simultaneamente ortonormal e base (logo linearmente independente e gerador).
Agora que sabemos o que procurar, vamos verificar as propriedades para os vetores de \beta.

Passo 3

Calculemos o produto escalar entre os dois vetores de \beta:
\langle (1,0,0),(0,1,0)\rangle = 1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 0\cdot 0 = 0.
Conclusão: os vetores são ortogonais.
Em seguida, calculemos as normas:
\|(1,0,0)\| = \sqrt{1^2+0^2+0^2} = \sqrt{1} = 1,
\|(0,1,0)\| = \sqrt{0^2+1^2+0^2} = \sqrt{1} = 1.
Conclusão: cada vetor tem norma 1.
Portanto, os dois vetores são mutuamente ortogonais e unitários — ou seja, \beta é um conjunto ortonormal.

Passo 4

Agora falta checar se \beta é uma base de W. Pelo enunciado temos explicitamente W=\operatorname{span}(\beta), então \beta gera W. Para ser base, além de gerar precisa ser linearmente independente. Mas existe um fato útil e simples: qualquer conjunto de vetores ortogonais não nulos é linearmente independente; em particular, qualquer conjunto ortonormal é linearmente independente. Vou mostrar rapidinho por que isso vale (fácil de lembrar na prova):
Sejam v_1,v_2 ortogonais e não nulos. Suponha que existam escalares c_1,c_2 tais que
c_1 v_1 + c_2 v_2 = 0.
Faça o produto escalar com v_1:
\langle c_1 v_1 + c_2 v_2, v_1\rangle = c_1\langle v_1,v_1\rangle + c_2\langle v_2,v_1\rangle = 0.
Como \langle v_2,v_1\rangle=0 (ortogonalidade) e \langle v_1,v_1\rangle=\|v_1\|^2>0, obtemos c_1\|v_1\|^2=0 e assim c_1=0. Similarmente, tomando produto com v_2 obtemos c_2=0. Logo apenas a combinação trivial dá zero — ou seja, são linearmente independentes.
Aplicando isso ao nosso caso, \beta é linearmente independente.

Passo 5

Resumo das verificações:
  • \beta gera W por definição do enunciado.
  • \beta é ortonormal porque os vetores são ortogonais ( \langle(1,0,0),(0,1,0)\rangle=0) e cada um tem norma 1.
  • Sendo ortonormal e geradora, \beta é uma base ortonormal de W.
Um pequeno exemplo extra para fixar (pra você levar pra prova): se tivesse os vetores (1,1,0) e (1,-1,0), eles também são ortogonais, mas não unitários ( \|(1,1,0)\|=\sqrt{2}). Para tornar uma base ortonormal você normaliza cada um dividindo por \sqrt{2}, ficando \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0) e \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0).

Resposta

Sim. \beta é uma base ortonormal de W.

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