Seja
o subespaço gerado por
. Podemos afirmar que
é uma base ortonormalizada de
? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá:
- O conjunto
. - O subespaço
é o subespaço gerado por (ou seja, ).
A pergunta é: Podemos afirmar que
é uma base ortonormalizada de
? Peça única: decidir se
é (ou não) uma base ortonormal de
e justificar.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar direitinho o que significa “base ortonormal” (vou explicar com calma como se estivéssemos estudando juntos):
- Produto interno (produto escalar) em
: para e ,
Isto é a regra padrão para calcular ângulo/projeções em
.
- Norma de um vetor
: é
- Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles é zero.
- Um conjunto de vetores é ortonormal se todos os vetores têm norma
(unitários) e são mutuamente ortogonais. - Uma base ortonormal de um subespaço
é um conjunto ortonormal que, além disso, gera (ou seja, seu span é ) — então é simultaneamente ortonormal e base (logo linearmente independente e gerador).
Agora que sabemos o que procurar, vamos verificar as propriedades para os vetores de
.
Passo 3
Calculemos o produto escalar entre os dois vetores de
:
Conclusão: os vetores são ortogonais.
Em seguida, calculemos as normas:
Conclusão: cada vetor tem norma
.
Portanto, os dois vetores são mutuamente ortogonais e unitários — ou seja,
é um conjunto ortonormal.
Passo 4
Agora falta checar se
é uma base de
. Pelo enunciado temos explicitamente
, então
gera
. Para ser base, além de gerar precisa ser linearmente independente. Mas existe um fato útil e simples: qualquer conjunto de vetores ortogonais não nulos é linearmente independente; em particular, qualquer conjunto ortonormal é linearmente independente. Vou mostrar rapidinho por que isso vale (fácil de lembrar na prova):
Sejam
ortogonais e não nulos. Suponha que existam escalares
tais que
Faça o produto escalar com
:
Como
(ortogonalidade) e
, obtemos
e assim
. Similarmente, tomando produto com
obtemos
. Logo apenas a combinação trivial dá zero — ou seja, são linearmente independentes.
Aplicando isso ao nosso caso,
é linearmente independente.
Passo 5
Resumo das verificações:
-
gera por definição do enunciado. -
é ortonormal porque os vetores são ortogonais ( ) e cada um tem norma . - Sendo ortonormal e geradora,
é uma base ortonormal de .
Um pequeno exemplo extra para fixar (pra você levar pra prova): se tivesse os vetores
e
, eles também são ortogonais, mas não unitários (
). Para tornar uma base ortonormal você normaliza cada um dividindo por
, ficando
e
.
Resposta
Sim.
é uma base ortonormal de
.