Esboce o gráfico e obtenha uma equação da parábola de vértice V=(0,0) e diretriz y=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para esboçar o gráfico e encontrar a equação de uma parábola que tem o vértice em V=(0,0) e a diretriz y=3. Vamos precisar entender um pouquinho sobre parábolas, vértices e diretrizes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. É uma curva simétrica que pode abrir para cima, para baixo, para a direita ou para a esquerda. O vértice é o ponto mais baixo ou mais alto da parábola, dependendo da direção que ela abre. A diretriz é uma linha reta que está sempre a mesma distância do vérice, mas do lado oposto da parábola em relação ao foco.

Passo 3

No nosso caso, o vértice está em V=(0,0), que é a origem do sistema de coordenadas. A diretriz é a reta y=3. Como a diretriz está acima do vértice e a parábola é sempre oposta à diretriz, isso significa que nossa parábola vai abrir para baixo.

Passo 4

A fórmula padrão de uma parábola que abre para baixo com o vértice na origem é:
y = 14px^2
Aqui, p é a distância do vértice ao foco. Como a parábola abre para baixo, p será negativo.

Passo 5

Sabemos que a diretriz está a y=3. A diretriz está a uma distância |p| do vértice na direção oposta ao foco. Como a parábola abre para baixo, o foco estará a p unidades abaixo do vértice. Então, a distância do vértice à diretriz é 3 unidades, logo |p| = 3, e como abre para baixo, p = -3.

Passo 6

Agora, substituímos p = -3 na fórmula da parábola:
y = 14(-3)x^2
Simplificando:
y = -112x^2

Resposta

A equação da parábola é y = -dfrac112x^2.

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