Esboce o gráfico e obtenha uma equação da parábola de vértice
e diretriz
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para esboçar o gráfico e encontrar a equação de uma parábola que tem o vértice em
e a diretriz
. Vamos precisar entender um pouquinho sobre parábolas, vértices e diretrizes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. É uma curva simétrica que pode abrir para cima, para baixo, para a direita ou para a esquerda. O vértice é o ponto mais baixo ou mais alto da parábola, dependendo da direção que ela abre. A diretriz é uma linha reta que está sempre a mesma distância do vérice, mas do lado oposto da parábola em relação ao foco.
Passo 3
No nosso caso, o vértice está em
, que é a origem do sistema de coordenadas. A diretriz é a reta
. Como a diretriz está acima do vértice e a parábola é sempre oposta à diretriz, isso significa que nossa parábola vai abrir para baixo.
Passo 4
A fórmula padrão de uma parábola que abre para baixo com o vértice na origem é:
Aqui,
é a distância do vértice ao foco. Como a parábola abre para baixo,
será negativo.
Passo 5
Sabemos que a diretriz está a
. A diretriz está a uma distância
do vértice na direção oposta ao foco. Como a parábola abre para baixo, o foco estará a
unidades abaixo do vértice. Então, a distância do vértice à diretriz é
unidades, logo
, e como abre para baixo,
.
Passo 6
Agora, substituímos
na fórmula da parábola:
Simplificando:
Resposta
A equação da parábola é
.