Seja
uma transformação linear dada por
, mostre que os autovalores de T são 1 e-1.
Passo 1
Estamos em
e a transformação linear é
Por definição,
é autovalor de
se existe matriz não-nula
tal que
Passo 2
Note que aplicar
duas vezes faz transpor duas vezes, logo
Isto é,
é a identidade em
. O polinômio mínimo de
divide
, de onde os únicos autovalores possíveis satisfazem
Passo 3
Para ver que
ocorre, basta escolher qualquer matriz simétrica não-nula, isto é,
tal que
Então
mostrando que
é autovalor de
.
Passo 4
Para ver que
ocorre, basta escolher qualquer matriz antissimétrica não-nula, isto é,
tal que
Então
mostrando que
é autovalor de
.
Resposta
Os autovalores de
são
e
.