Seja T: Mn(R) longrightarrow Mn(R) uma transformação linear dada por T(A)=A^t, mostre que os autovalores de T são 1 e-1.

Passo 1

Estamos em Mn(R) e a transformação linear é
Tcolon Mn(R)longrightarrow Mn(R), T(A)=A^t
Por definição, lambda é autovalor de T se existe matriz não-nula A tal que
T(A)=lambda A,ie A^t=lambda A

Passo 2

Note que aplicar T duas vezes faz transpor duas vezes, logo
T^2(A)=(A^t)^t=A
Isto é, T^2 é a identidade em Mn(R). O polinômio mínimo de T divide x^2-1=(x-1)(x+1), de onde os únicos autovalores possíveis satisfazem
lambda^2-1=0Longrightarrow lambda=pm1

Passo 3

Para ver que lambda=1 ocorre, basta escolher qualquer matriz simétrica não-nula, isto é, A tal que
A^t=A
Então
T(A)=A^t=A=1cdot A,
mostrando que 1 é autovalor de T.

Passo 4

Para ver que lambda=-1 ocorre, basta escolher qualquer matriz antissimétrica não-nula, isto é, A tal que
A^t=-A
Então
T(A)=A^t=-A=(-1)cdot A,
mostrando que -1 é autovalor de T.

Resposta

Os autovalores de T são 1 e -1.

Exercícios relacionados