Encontre 2 bases distintas para cada um dos espaços (represente-as na forma de conjunto):
Plano do R^3 que passa pela origem e tem vetor normal (-5,2,4)

Passo 1

O enunciado pede duas bases distintas para o subespaço
P = (x,y,z)in R^3 mid -5x + 2y + 4z = 0,
que é um plano passando pela origem com vetor normal n = (-5,2,4). Como esse plano tem dimensão 2, cada base deverá conter dois vetores linearmente independentes que satisfaçam a equação -5x+2y+4z=0.

Passo 2

Para construir a primeira base, fazemos escolhas simples de parâmetros inteiros para y e z:
  • Seja y=5 e z=0. Então
    -5x + 2cdot 5 + 4cdot 0 = 0 Longrightarrow -5x + 10 = 0 Longrightarrow x = 2
    Logo o primeiro vetor é ,(2,5,0).
  • Seja y=0 e z=5. Então
    -5x + 2cdot 0 + 4cdot 5 = 0 Longrightarrow -5x + 20 = 0 Longrightarrow x = 4
    Logo o segundo vetor é ,(4,0,5).
Esses dois vetores estão no plano por satisfazerem -5x+2y+4z=0. Assim uma base é
B1 = (2,5,0),,(4,0,5)

Passo 3

Verificação de independência em B1:
Nenhum dos vetores é múltiplo escalar do outro (por exemplo, (2,5,0) tem componente z=0 enquanto (4,0,5) tem z=5), logo são linearmente independentes e formam de fato uma base de P.

Passo 4

Para a segunda base, usamos o produto vetorial com vetores da base canônica, garantindo vetores ortogonais ao normal n:
  • Calcule w1 = n times e1 = (-5,2,4)times(1,0,0) = (0,,4,,-2)
  • Calcule w2 = n times e2 = (-5,2,4)times(0,1,0) = (-4,,0,,-5)
Esses vetores são ortogonais a n, logo satisfazem -5x+2y+4z=0, e não são múltiplos um do outro.

Passo 5

Confirmamos que
-5cdot 0 + 2cdot 4 + 4cdot(-2) = 0, -5cdot(-4) + 2cdot 0 + 4cdot(-5) = 0,
e que w1 e w2 são independentes. Assim a segunda base é
B2 = (0,4,-2),,(-4,0,-5)

Resposta

Uma escolha de duas bases distintas para o plano é:
B1 = (2,5,0),,(4,0,5)
B2 = (0,4,-2),,(-4,0,-5)

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