Encontre 2 bases distintas para cada um dos espaços (represente-as na forma de conjunto):
Plano do
que passa pela origem e tem vetor normal
Plano do
Passo 1
O enunciado pede duas bases distintas para o subespaço
que é um plano passando pela origem com vetor normal
. Como esse plano tem dimensão 2, cada base deverá conter dois vetores linearmente independentes que satisfaçam a equação
.
Passo 2
Para construir a primeira base, fazemos escolhas simples de parâmetros inteiros para
e
:
-
Seja
e . Então Logo o primeiro vetor é. -
Seja
e . Então Logo o segundo vetor é.
Esses dois vetores estão no plano por satisfazerem
. Assim uma base é
Passo 3
Verificação de independência em
:
Nenhum dos vetores é múltiplo escalar do outro (por exemplo, tem componente
enquanto
tem
), logo são linearmente independentes e formam de fato uma base de
.
Nenhum dos vetores é múltiplo escalar do outro (por exemplo,
Passo 4
Para a segunda base, usamos o produto vetorial com vetores da base canônica, garantindo vetores ortogonais ao normal
:
- Calcule
- Calcule
Esses vetores são ortogonais a
, logo satisfazem
, e não são múltiplos um do outro.
Passo 5
Confirmamos que
e que
e
são independentes. Assim a segunda base é
Resposta
Uma escolha de duas bases distintas para o plano é: