Sejam u1=(1,0,-1,2), u2=(2,3,1,1) in R^4 e W=[u1, u2]. Determine os funcionais lineares que estão no anulador de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os funcionais lineares que estão no anulador de um conjunto W formado por dois vetores em R^4. Ou seja, queremos descobrir quais funções lineares “zeram” esses vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como espaço dual e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um funcional linear. Em R^4, um funcional é uma função que pega um vetor e retorna um número real. Matematicamente, podemos escrever um funcional f como:
f(x1, x2, x3, x4) = a x1 + b x2 + c x3 + d x4
onde a, b, c, d são os coeficientes que definem o funcional.

Passo 3

O anulador de W, denotado por W^perp, é o conjunto de todos os funcionais que anulam (zeram) todos os vetores em W. Então, queremos que:
f(u1) = 0 e f(u2) = 0
Substituindo os vetores:
u1 = (1, 0, -1, 2) u2 = (2, 3, 1, 1)

Passo 4

Vamos substituir esses vetores na expressão do funcional:
  1. Para u1:
a(1) + b(0) + c(-1) + d(2) = 0 a - c + 2d = 0
  1. Para u2:
a(2) + b(3) + c(1) + d(1) = 0 2a + 3b + c + d = 0

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações lineares com duas equações e quatro incógnitas:
a - c + 2d = 0 2a + 3b + c + d = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a, b, c, d que satisfazem ambas as equações.

Passo 6

Podemos resolver o sistema usando o método da eliminação. Primeiro, da primeira equação:
a = c - 2d
Agora, substituímos a na segunda equação:
2(c - 2d) + 3b + c + d = 0 2c - 4d + 3b + c + d = 0 3c + 3b - 3d = 0 c + b - d = 0 b = d - c

Passo 7

Agora, temos as relações:
a = c - 2d b = d - c
Como temos quatro variáveis e apenas duas equações independentes, podemos escolher c e d como variáveis livres. Isso significa que c e d podem ser qualquer número real, e a e b dependem deles.

Passo 8

Vamos expressar a e b em termos de c e d:
a = c - 2d b = d - c
Então, o funcional f fica:
f(x1, x2, x3, x4) = (c - 2d)x1 + (d - c)x2 + c x3 + d x4
Podemos reorganizar para destacar os termos com c e d:
f = c(x1 - x2 + x3) + d(-2x1 + x2 + x4)

Passo 9

Isso mostra que qualquer funcional no anulador de W pode ser escrito como uma combinação linear de dois funcionais independentes:
f = c cdot (x1 - x2 + x3) + d cdot (-2x1 + x2 + x4)
onde c e d são números reais.

Resposta

Os funcionais lineares que estão no anulador de W são todas as combinações lineares de (x1 - x2 + x3) e (-2x1 + x2 + x4). Ou seja, qualquer funcional f no anulador de W pode ser expresso como:
f = c cdot (x1 - x2 + x3) + d cdot (-2x1 + x2 + x4)
onde c e d são números reais.

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