Encontre as bases duais e biduais de cada uma das seguintes bases de mathbbR^3.
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

Passo 1

Estamos com a base padrão B = {e₁,e₂,e₃} de ℝ³, onde e₁=(1,0,0), e₂=(0,1,0), e₃=(0,0,1). O conteúdo é base dual e base bidual, e vamos precisar da definição de base dual (funcionais lineares que avaliam δᵢⱼ) e da identificação canônica entre E e E**.

Passo 2

A base dual B* = {e¹,e²,e³} é dada pelos funcionais lineares eᶦ: ℝ³→ℝ que satisfazem eᶦ(eⱼ)=δᵢⱼ. No caso da base padrão temos: e¹(x,y,z)=x, e²(x,y,z)=y e e³(x,y,z)=z.

Passo 3

Para obter a base bidual, usamos que cada vetor v∈E define um funcional ĥv∈E** via ĥv(f)=f(v). Assim, a base dual de {e¹,e²,e³} em E** é {ĥe₁,ĥe₂,ĥe₃}.

Passo 4

Verificamos que ĥeᵢ(eʲ)=eʲ(eᵢ)=δᶦⱼ. Portanto {ĥe₁,ĥe₂,ĥe₃} é de fato a base dual de B*. Além disso, pela aplicação canônica Φ:E→E** com Φ(eᵢ)=ĥeᵢ, essa base bidual corresponde exatamente à base original {e₁,e₂,e₃}.

Resposta

A base dual é {e¹,e²,e³} com
e¹(x,y,z)=x, e²(x,y,z)=y, e³(x,y,z)=z.
A base bidual é {ĥe₁,ĥe₂,ĥe₃}, onde ĥeᵢ(f)=f(eᵢ), que, via o isomorfismo canônico entre ℝ³ e (ℝ³)**, coincide com a base original {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.

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