Seja
um
-espaço vetorial. Prove que:
Se
é um subespaço de
então que
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dado um espaço vetorial V sobre o corpo
e um subespaço
, o dual do quociente
, isto é
, é isomorfo ao anulador de
em
, definido por
. Vamos usar o fato de que há a projeção canônica de
em
e construir um isomorfismo explicitamente.
Passo 2
Definimos a projeção canônica
por
. Em seguida, construímos uma aplicação
Passo 3
Para ver que a imagem de
cai em
, note que se
e
então
. Daí
, logo
.
Passo 4
Mostramos que
é injetiva. Se
em
, então
para todo
. Como todo elemento de
é da forma
, segue
em
.
Passo 5
Agora provamos que
é sobrejetiva em
. Dado
, definimos
Precisamos checar que
está bem-definida: se
então
, e como
segue
. É fácil ver que
é linear e que
. Assim
.
Passo 6
Como
é linear, injetiva e sobrejetiva em
, concluímos que
é isomorfo a
.
Resposta
O isomorfismo é dado por
,
, e mostra-se que é bijetivo e linear. Portanto
.