Seja V um K-espaço vetorial. Prove que:
Se S é um subespaço de V então que (V / S)^* simeq S^0.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dado um espaço vetorial V sobre o corpo K e um subespaço Ssubseteq V, o dual do quociente V/S, isto é (V/S)^*, é isomorfo ao anulador de S em V^*, definido por S^0 = varphiin V^* : varphi(s)=0 forall sin S. Vamos usar o fato de que há a projeção canônica de V em V/S e construir um isomorfismo explicitamente.

Passo 2

Definimos a projeção canônica pi: Vto V/S por pi(v)=v+S. Em seguida, construímos uma aplicação Phi:,(V/S)^*;longrightarrow;V^*porPhi(f)=fcircpi

Passo 3

Para ver que a imagem de Phi cai em S^0, note que se fin (V/S)^* e sin S então pi(s)=0V/S. Daí (fcircpi)(s)=f(0)=0, logo Phi(f)in S^0.

Passo 4

Mostramos que Phi é injetiva. Se Phi(f)=0 em V^*, então f(pi(v))=(fcircpi)(v)=0 para todo vin V. Como todo elemento de V/S é da forma pi(v), segue f=0 em (V/S)^*.

Passo 5

Agora provamos que Phi é sobrejetiva em S^0. Dado varphiin S^0, definimos f:,V/StoKpor f(v+S)=varphi(v) Precisamos checar que f está bem-definida: se v+S=w+S então v-win S, e como varphi(v-w)=0 segue varphi(v)=varphi(w). É fácil ver que f é linear e que fcircpi=varphi. Assim Phi(f)=varphi.

Passo 6

Como Phi é linear, injetiva e sobrejetiva em S^0, concluímos que (V/S)^* é isomorfo a S^0.

Resposta

O isomorfismo é dado por Phi:(V/S)^*to S^0, Phi(f)=fcircpi, e mostra-se que é bijetivo e linear. Portanto (V/S)^*simeq S^0.

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