Sejam
um espaço vetorial sobre
,
um hiperplano de
e
. Chamamos o conjunto
de hiperplano afim de
. Mostre que se
e
então
é um hiperplano afim.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é um hiperplano afim de V, ou seja, que W é uma translação de um hiperplano linear de V. Vamos usar teoria de funcionais lineares e núcleo.
Passo 2
Primeiro, note que como f é funcional linear não-nulo, o seu núcleo
é um hiperplano de V. De fato, f≠0 implica que Im f é todo
Passo 3
Em seguida, use que f é sobrejetora em
. Como Im f=\mathbb K, existe
tal que
.
Passo 4
Por fim, mostre que W coincide exatamente com o coset
. De fato,
se então
, logo
e assim
, ou seja
. Recíproco análogo.
se
Passo 5
Concluímos que
o que mostra que W é uma translação de um hiperplano linear (
Resposta
mostrando que é um hiperplano afim de V, onde