Sejam V um espaço vetorial sobre K, H um hiperplano de V e v0 in V. Chamamos o conjunto
v0+H=v0+v mid v in H
de hiperplano afim de V. Mostre que se f in V^*, f neq 0 e alpha in K então v in V mid f(v)=alpha é um hiperplano afim.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
W=vin Vmid f(v)=alpha
é um hiperplano afim de V, ou seja, que W é uma translação de um hiperplano linear de V. Vamos usar teoria de funcionais lineares e núcleo.

Passo 2

Primeiro, note que como f é funcional linear não-nulo, o seu núcleo
ker f=vin Vmid f(v)=0
é um hiperplano de V. De fato, f≠0 implica que Im f é todo K, logo há dimensão de ker f igual a dim V−1.

Passo 3

Em seguida, use que f é sobrejetora em K. Como Im f=\mathbb K, existe v0in V tal que f(v0)=alpha.

Passo 4

Por fim, mostre que W coincide exatamente com o coset v0+ker f. De fato,
se vin W então f(v)=alpha=f(v0), logo f(v-v0)=0 e assim v-v0inker f, ou seja vin v0+ker f. Recíproco análogo.

Passo 5

Concluímos que
W=vin Vmid f(v)=alpha=v0+ker f,
o que mostra que W é uma translação de um hiperplano linear ( ker f) e, portanto, um hiperplano afim de V.

Resposta

vin Vmid f(v)=alpha=v0+ker f,
mostrando que é um hiperplano afim de V, onde ker f é um hiperplano linear de V.

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