Sejam alpha0, ldots, alphan in R números reais diferentes dois a dois. Mostre que existe uma única (n+1)-upla p in Pn(R) tal que
para todo .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe uma e somente uma lista de coeficientes (lambda0,dots,lambdan) tal que, para todo polinômio p de grau ≤ n, temos
p'(0)=sumk=0^nlambdak,p(alphak)
O conteúdo principal aqui é usar o polinômio de interpolação de Lagrange e a ideia de base do espaço dual de Pn( R).

Passo 2

Para construir explicitamente os lambdak, lembramos que dado um polinômio pin Pn( R) seus valores nos pontos alpha0,dots,alphan determinam p por meio dos polinômios de Lagrange
ellk(x)=prodsubstack0<= j<= n jne kx-alphajalphak-alphaj,
que satisfazem ellk(alphai)=de. Logo
p(x)=sumk=0^n p(alphak),ellk(x)

Passo 3

Diferenciando a expressão de p(x) e avaliando em x=0 obtemos
p'(0)=sumk=0^n p(alphak),ellk'(0)
Portanto basta definir
lambdak=ellk'(0), k=0,1,dots,n,
o que garante a existência da tupla (lambda0,dots,lambdan).

Passo 4

Para ver a unicidade, suponha que haja outra tupla (mu0,dots,mun) que também satisfaz
p'(0)=sumk=0^nmuk,p(alphak)
para todo p. Subtraindo as duas expressões, teríamos
0=sumk=0^n(lambdak-muk),p(alphak)
para todo p. Mas as avaliações pmapsto p(alphak) formam um sistema linear independente no dual de Pn, logo cada coeficiente lambdak-muk deve ser zero. Assim lambdak=muk para todo k, provando a unicidade.

Passo 5

O argumento acima resume a solução: construímos (lambdak) via derivadas das bases de Lagrange e usamos independência linear no dual para garantir unicidade.

Resposta

A única escolha que funciona é lambdak=ellk'(0), onde
ellk(x)=prodjne kx-alphajalphak-alphaj
é o polinômio de Lagrange centrado em alphak.

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