Sejam
números reais diferentes dois a dois. Mostre que existe uma única
-upla
tal que
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que existe uma e somente uma lista de coeficientes
tal que, para todo polinômio
de grau ≤
, temos
O conteúdo principal aqui é usar o polinômio de interpolação de Lagrange e a ideia de base do espaço dual de
.
Passo 2
Para construir explicitamente os
, lembramos que dado um polinômio
seus valores nos pontos
determinam
por meio dos polinômios de Lagrange
que satisfazem
. Logo
Passo 3
Diferenciando a expressão de
e avaliando em
obtemos
Portanto basta definir
o que garante a existência da tupla
.
Passo 4
Para ver a unicidade, suponha que haja outra tupla
que também satisfaz
para todo
. Subtraindo as duas expressões, teríamos
para todo
. Mas as avaliações
formam um sistema linear independente no dual de
, logo cada coeficiente
deve ser zero. Assim
para todo
, provando a unicidade.
Passo 5
O argumento acima resume a solução: construímos
via derivadas das bases de Lagrange e usamos independência linear no dual para garantir unicidade.
Resposta
A única escolha que funciona é
, onde
é o polinômio de Lagrange centrado em
.