Sejam V=(1 / raiz5, 0, raiz3 / 5, 1 / raiz5) e W=(a, 1 / raiz5,-b, 1) vetores de R^4.
Encontre todos os valores para a e b tais que V, W seja um conjunto ortogonal.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^4:
V = l(tfrac1raiz5,,0,,raiztfrac35,,tfrac1raiz5r), W = l(a,,tfrac1raiz5,,-b,,1r)
e pede que V,W seja ortogonal, ou seja, que o produto interno Vcdot W seja zero. Para isso vamos usar a definição de produto interno em R^4:
Vcdot W = v1w1 + v2w2 + v3w3 + v4w4

Passo 2

Calculamos o produto interno componte a componente:
Vcdot W = 1raiz5cdot a + 0cdot 1raiz5 + raiz35cdot(-b) + 1raiz5cdot 1
Reunindo termos,
Vcdot W = araiz5 - b,raiz35 + 1raiz5

Passo 3

Para ortogonalidade impomos Vcdot W=0. Multiplicando ambos os lados por raiz5 para simplificar,
a - braiz3 + 1 = 0
Reescrevendo, obtemos a relação
a + 1 = braiz3

Resposta

Todos os pares (a,b) tais que
b = a + 1raiz3
(sendo equivalently a = braiz3 - 1).

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