Sejam V=(1 / raiz5, 0, raiz3 / 5, 1 / raiz5) e W=(a, 1 / raiz5,-b, 1) vetores de R^4.
Existem valores para a e b tais que V, W seja um conjunto ortonormal?

Passo 1

O enunciado dá os vetores em R^4
V=l(tfrac1raiz5,,0,,raiztfrac35,,tfrac1raiz5r), W=(a,,tfrac1raiz5,,-b,,1)
e pergunta se existem a,binR tais que V,W seja ortonormal. Para isso precisamos de duas coisas:
  1. |W|=1.
  2. lang<= V,Wrang<==0.

Passo 2

Impondo a ortogonalidade, calculamos
lang<= V,Wrang<= =1raiz5,a+0cdot1raiz5 +raiz35;(-b) +1raiz5,1 =araiz5-braiz35+1raiz5=0
Isto é
a+1raiz5=braiz35

Passo 3

Agora a condição |W|=1
|W|^2 =a^2+15+b^2+1=1 ;Longrightarrow; a^2+b^2=-15

Passo 4

Mas a^2+b^2>=0 para quaisquer a,binR, então não pode ser -tfrac15. Há contradição.

Resposta

Não existem valores reais de a e b que tornem V,W um conjunto ortonormal.

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