Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n)!(x-10)^{n}}{n!2^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em 10
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{n!\,2^{n}}\,(x-10)^{n}.
Vamos usar o critério da razão (de d’Alembert) para séries de potências.

Passo 2

Defina o termo geral
a_n = \frac{(2n)!}{n!\,2^{n}}\, (x-10)^{n}.
Considere a razão
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{\displaystyle\frac{(2(n+1))!}{(n+1)!\,2^{\,n+1}}\;|x-10|^{\,n+1}} {\displaystyle\frac{(2n)!}{n!\,2^{\,n}}\;|x-10|^{\,n}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{2(n+1)}\,|x-10|.
Observe que
\frac{(2n+2)(2n+1)}{2(n+1)} = \frac{2(n+1)(2n+1)}{2(n+1)} = 2n+1.
Logo
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = (2n+1)\,|x-10|.

Passo 3

Aplicando o critério da razão, analisamos
\lim_{n\to\infty}(2n+1)\,|x-10|.
Se |x-10|>0, então (2n+1)\,|x-10|\to\infty>1, logo diverge. Se |x-10|=0 (isto é, x=10), temos razão 0<1, logo converge. Assim o conjunto de pontos de convergência é apenas x=10.

Passo 4

Do resultado do passo anterior, o raio de convergência é
R = 0
e o intervalo de convergência é o conjunto singleton
\{10\}.

Resposta

Raio de convergência: R=0.
Intervalo de convergência: apenas x=10.

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