Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 x^{2 n+1}}{2 n+1}.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2\,x^{2n+1}}{2n+1}.
Para isso vamos usar o Teste da Razão (ou de Cauchy) e depois verificar o comportamento nos pontos extremos x=\pm1.

Passo 2

Seja
a_n = \frac{2\,x^{2n+1}}{2n+1}.
Aplicando o Teste da Razão, consideramos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2\,|x|^{2(n+1)+1}/(2n+3)}{2\,|x|^{2n+1}/(2n+1)} =\lim_{n\to\infty}|x|^2\;\frac{2n+1}{2n+3} =|x|^2.
Para convergência precisamos |x|^2<1, ou seja |x|<1. Daí o raio de convergência é
R = 1.

Passo 3

Faltam agora os extremos x=1 e x=-1:
  • Em x=1 a série fica \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2\cdot1^{2n+1}}{2n+1} =2\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2n+1},que diverge (harmônica sobre termos ímpares).
  • Em x=-1 a série é \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2\,(-1)^{2n+1}}{2n+1} =-2\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2n+1},também divergente.
Portanto, nenhum dos extremos é incluído.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
(-1,\,1).

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