Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas: \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{2 x^{2 n+1}}{2 n+1}.
e pede o raio de convergência e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para o raio e, depois, o critério de Leibniz para checar os extremos.
Passo 2
Seja
b_n = (-1)^{n+1}\frac{2\,x^{2n+1}}{2n+1}.
Aplicando o teste da razão, calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{2\,|x|^{2(n+1)+1}}{2(n+1)+1}}{\displaystyle\frac{2\,|x|^{2n+1}}{2n+1}} =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{2n+1}\,|x|^2 =|x|^2.
A série converge se L<1, isto é, se |x|^2<1, ou seja |x|<1. Portanto, o raio de convergência é R=1.