Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{2 x^{2 n+1}}{2 n+1}.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2\,x^{2n+1}}{2n+1}
e pede o raio de convergência e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para o raio e, depois, o critério de Leibniz para checar os extremos.

Passo 2

Seja
b_n = (-1)^{n+1}\frac{2\,x^{2n+1}}{2n+1}.
Aplicando o teste da razão, calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{2\,|x|^{2(n+1)+1}}{2(n+1)+1}}{\displaystyle\frac{2\,|x|^{2n+1}}{2n+1}} =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{2n+1}\,|x|^2 =|x|^2.
A série converge se L<1, isto é, se |x|^2<1, ou seja |x|<1. Portanto, o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Agora testamos os extremos do intervalo |x|\le1.
Para x=1, o termo geral vira
(-1)^{n+1}\frac{2\cdot1^{2n+1}}{2n+1} =\;(-1)^{n+1}\frac{2}{2n+1},
que é uma série alternada com termos em módulo 2/(2n+1) decrescentes a zero. Pelo critério de Leibniz, ela converge.

Passo 4

Para x=-1, o termo geral é
(-1)^{n+1}\frac{2\,(-1)^{2n+1}}{2n+1} =(-1)^{n+1}\frac{2\cdot(-1)}{2n+1} =(-1)^{n}\frac{2}{2n+1},
também alternado com termos decrescentes a zero. De novo pelo critério de Leibniz, converge.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: [-1,1].

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