Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}
e pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência. O conteúdo aqui é séries de potências e usaremos o teste da razão para encontrar R, seguido de testes de convergência nos extremos x=\pm1.

Passo 2

Identificamos o coeficiente geral
a_n = (-1)^{n-1}\frac{1}{n}
de modo que a série é \sum a_n x^n. Para achar R aplicamos o teste da razão, que requer o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right|.

Passo 3

Calculando L:
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{(-1)^{n}\frac{1}{n+1}\;x^{n+1}} {(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\;x^n}\right| = |x|\;\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} =|x|.
Pelo teste da razão, a série converge se L<1 (isto é, |x|<1) e diverge se L>1.

Passo 4

Do resultado do teste da razão concluímos que o raio de convergência é
R=1,
ou seja, a série converge em |x|<1 e diverge em |x|>1. Falta agora analisar x=1 e x=-1.

Passo 5

Em x=1 a série se torna
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1^n}{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n},
que é a série harmônica alternante. Pelos critérios de Leibniz (termos decrescentes em módulo e tendendo a zero), ela converge (condicionalmente).

Passo 6

Em x=-1 a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(-1)^n}{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2n-1}}{n} =-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é - vezes a série harmônica. Essa diverge, pois a harmônica diverge.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: \,-1<x\le 1.

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