Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1)!}.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}.
O conteúdo é séries de potências e vamos usar o critério da razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Defina o termo geral da série como
a_n = \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}.
No critério da razão, calculamos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{x^{2(n+1)-1}}{(2(n+1)-1)!}\,\frac{(2n-1)!}{x^{2n-1}}\right| = \frac{|x|^{2}}{(2n+1)(2n)}.

Passo 3

Tomando o limite quando n\to\infty, obtemos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2n+1)(2n)}=0.
Como esse limite é zero para todo valor de x, o critério da razão garante convergência para todo x. Assim o raio de convergência é infinito:
R = \infty.

Passo 4

Quando o raio é infinito, a série converge para qualquer x\in\mathbb{R}. Portanto o intervalo de convergência é
(-\infty,\infty).

Resposta

O raio de convergência é R=\infty e o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

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