Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+3)^{n}}{(n+1) 2^{n}}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+3)^{n}}{(n+1)\,2^{n}}
e precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência. O conteúdo envolve testes de convergência de séries de potência, como o teste da razão (ou raiz), e também a verificação de convergência nos extremos.

Passo 2

A série está centrada em x=-3, pois aparece (x+3)^n. Podemos escrever os coeficientes gerais como
a_n = \frac{1}{(n+1)\,2^n},
de modo que a série é \sum_{n=0}^\infty a_n\,(x+3)^n. Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão.

Passo 3

No teste da razão, calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \Bigl|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{(n+2)\,2^{n+1}}}{\frac{1}{(n+1)\,2^n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{(n+2)\,2} = \tfrac12.
O raio de convergência R é o inverso de L:
R = \frac{1}{L} = 2.

Passo 4

Da condição |x+3|<R vem
|x+3|<2 \quad\Longrightarrow\quad -5 < x < -1.
Esse é o intervalo de convergência aberto antes de testar as extremidades.

Passo 5

Testamos os extremos:
Em x=-5 temos x+3=-2 e a série vira
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{(n+1)\,2^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1},
que é alternante, com termos decrescentes a zero, logo converge (teste de Leibniz).
Em x=-1 temos x+3=2 e a série vira
\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{(n+1)\,2^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1},
que é a série harmônica e diverge.

Resposta

O raio de convergência é R=2.
O intervalo de convergência é [-5,-1).

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