Encontre o valor das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n!}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}.
O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de Taylor (ou Maclaurin) da função \exp(x), que é
e^x = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^m}{m!}.

Passo 2

Para adaptar a série dada à forma da expansão de e^x, fazemos a mudança de índice k = n-1. Então n = k+1 e, quando n varia de 1 até \infty, k varia de 0 até \infty. A série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{(k+1)!}.

Passo 3

Observe que
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{(k+1)!} =\frac{1}{x}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k+1}}{(k+1)!} =\frac{1}{x}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^m}{m!},
onde no último passo renomeamos m=k+1.

Passo 4

Sabendo que
e^x = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^m}{m!} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^m}{m!}=e^x - 1,
temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!} =\frac{1}{x}\bigl(e^x - 1\bigr).

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!} =\frac{e^x - 1}{x}.

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