Encontre o valor das séries abaixo:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1) x^{n}.

Passo 1

O enunciado pede a soma da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)x^{n}.
O conteúdo usado será a soma da série geométrica e derivadas de séries para obter expressões que envolvam o fator (n+1).

Passo 2

Começamos com a série geométrica para |r|<1:
\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Derivando ambos os lados em relação a r obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}n\,r^{n-1}=\frac{1}{(1-r)^{2}}.
Multiplicando por r e somando a \sum r^n temos
\sum_{n=0}^{\infty}n\,r^{n}=\frac{r}{(1-r)^{2}},\quad \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)r^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}n\,r^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}r^{n} =\frac{r}{(1-r)^{2}}+\frac{1}{1-r} =\frac{1}{(1-r)^{2}}.

Passo 3

Na nossa série temos r=(-x). Logo, para |x|<1,
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)x^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(-x)^{n} =\frac{1}{\bigl(1-(-x)\bigr)^{2}} =\frac{1}{(1+x)^{2}}.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)x^{n} =\frac{1}{(1+x)^{2}}, \quad\text{para }|x|<1.

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