Encontre, em cada caso, a série de Maclaurin (Taylor com x_{0}=0 ) das funções dadas e o intervalo onde esta é representada pela série correspondente: f(x)=\operatorname{sinh} x.
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=\operatorname{sinh} x, ou seja, a expansão em torno de x_{0}=0
e o intervalo (ou raio) de convergência dessa série. Vamos usar a fórmula geral de Taylor/Maclaurin:
Precisamos achar a derivada n\)-ésima de \(\operatorname{sinh} x\) avaliada em \(0\). Note que
\(\operatorname{sinh}' x=\operatorname{cosh} x\), \(\operatorname{cosh}' x=\operatorname{sinh} x\),
logo há um ciclo de período 2:
\[f^{(0)}(x)=\operatorname{sinh} x,\quad f^{(1)}(x)=\operatorname{cosh} x,\quad f^{(2)}(x)=\operatorname{sinh} x,\quad f^{(3)}(x)=\operatorname{cosh} x,\;\dots
Em x=0 temos \operatorname{sinh}(0)=0 e \operatorname{cosh}(0)=1.
Portanto,
f^{(n)}(0)= \begin{cases} 0, & \text{se \(n é par},\ 1, & se n é ímpar. \end{cases}]
Isso implica que, na série de Maclaurin, somente os termos de ordem ímpar sobrevivem:
\operatorname{sinh} x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Passo 3
Para determinar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão em \displaystyle a_{k}=\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}: