Encontre, em cada caso, a série de Maclaurin (Taylor com x_{0}=0 ) das funções dadas e o intervalo onde esta é representada pela série correspondente:
f(x)=\operatorname{sinh} x.

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=\operatorname{sinh} x, ou seja, a expansão em torno de x_{0}=0
e o intervalo (ou raio) de convergência dessa série. Vamos usar a fórmula geral de Taylor/Maclaurin:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n}.

Passo 2

Precisamos achar a derivada n\)-ésima de \(\operatorname{sinh} x\) avaliada em \(0\). Note que \(\operatorname{sinh}' x=\operatorname{cosh} x\), \(\operatorname{cosh}' x=\operatorname{sinh} x\), logo há um ciclo de período 2: \[f^{(0)}(x)=\operatorname{sinh} x,\quad f^{(1)}(x)=\operatorname{cosh} x,\quad f^{(2)}(x)=\operatorname{sinh} x,\quad f^{(3)}(x)=\operatorname{cosh} x,\;\dots
Em x=0 temos \operatorname{sinh}(0)=0 e \operatorname{cosh}(0)=1.
Portanto,
f^{(n)}(0)= \begin{cases} 0, & \text{se \(n é par},\ 1, & se n é ímpar. \end{cases}]
Isso implica que, na série de Maclaurin, somente os termos de ordem ímpar sobrevivem:
\operatorname{sinh} x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Passo 3

Para determinar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão em
\displaystyle a_{k}=\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}:
\lim_{k\to\infty}\Bigl|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\Bigr| =\lim_{k\to\infty}\frac{|x|^{2(k+1)+1}/(2(k+1)+1)!}{|x|^{2k+1}/(2k+1)!} =\lim_{k\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2k+2)(2k+3)}=0.
Como esse limite é 0<1 para todo x, o raio de convergência é infinito.

Resposta

\operatorname{sinh} x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!},
válida para todo x\in(-\infty,\infty).

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