Encontre a expansão em séries de potências da função definida por:
f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{4+t^{4}} d t.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{4+t^{4}}\,dt
e pede a expansão em série de potências. O conteúdo principal é usar a série geométrica para expandir o integrando e, em seguida, integrar termo a termo.

Passo 2

Reescrevemos o integrando como uma série geométrica. Para |t|<4^{1/4} vale
\frac{1}{4+t^{4}} =\frac{1}{4}\,\frac{1}{1+\frac{t^{4}}{4}} =\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(-\frac{t^{4}}{4}\Bigr)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{4^{\,n+1}}\,t^{4n}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 a x:
f(x) =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{4^{\,n+1}}\,t^{4n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{4^{\,n+1}}\int_{0}^{x}t^{4n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{4^{\,n+1}}\cdot\frac{x^{4n+1}}{4n+1}.

Passo 4

Juntando fatores de 4, obtemos a forma compacta:
f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(4n+1)\,4^{\,n+1}}\,x^{4n+1}.

Resposta

\boxed{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(4n+1)\,4^{\,n+1}}\,x^{4n+1},\quad |x|<4^{1/4}.}

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