Encontre a expansão em séries de potências da função definida por:
f(x)=\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em séries de potências (Maclaurin) da função
f(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.
O conteúdo envolvido é a série de Taylor de e^{u} e a integração termo a termo de séries de potências. Vamos usar que
\displaystyle e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!}
e, em seguida, integrar cada termo em t de 0 a x.

Passo 2

Substituindo u=-t^{2} na série de Taylor de e^{u}, obtemos
e^{-t^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-t^{2})^{n}}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\,t^{2n}.
Essa série converge uniformemente em todo intervalo finito de t, permitindo a troca de soma por integral.

Passo 3

Integramos termo a termo de 0 a x:
f(x) =\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\,t^{2n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt.
Como \displaystyle\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt=\frac{x^{2n+1}}{2n+1}, fica
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.

Passo 4

Reescrevendo o resultado, a expansão em séries de potências de f(x) é
f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)\,n!}\;x^{2n+1},
válida para todo x\in\mathbb{R} (raio de convergência infinito).

Resposta

\boxed{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)\,n!}\;x^{2n+1}.}

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