Encontre a expansão em séries de potências da função definida por:
.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em séries de potências (Maclaurin) da função
O conteúdo envolvido é a série de Taylor de
e a integração termo a termo de séries de potências. Vamos usar que
e, em seguida, integrar cada termo em de
a
.
e, em seguida, integrar cada termo em
Passo 2
Substituindo
na série de Taylor de
, obtemos
Essa série converge uniformemente em todo intervalo finito de
, permitindo a troca de soma por integral.
Passo 3
Integramos termo a termo de
a
:
Como
, fica
Passo 4
Reescrevendo o resultado, a expansão em séries de potências de
é
válida para todo
(raio de convergência infinito).