Use séries de potências para resolver, em cada caso, o problema de valor inicial:
y^{\prime}+y=0, \quad y(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, usando séries de potências em torno de x=0, o problema de valor inicial
y'(x) + y(x) = 0,
com condição y(0)=2. Vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n
e determinar os coeficientes a_n a partir da equação diferencial e da condição inicial.

Passo 2

Derivando termo a termo a série proposta, obtemos
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,a_{n+1}\,x^n.

Passo 3

Substituindo y e y' na equação diferencial, temos
\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,a_{n+1}\,x^n \;+\;\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n \;=\;0.
Como essa igualdade vale para todo x, os coeficientes de x^n devem anular-se:
(n+1)\,a_{n+1} + a_n = 0,\quad \forall\,n\ge0.

Passo 4

Da relação de recorrência acima segue
a_{n+1} = -\frac{a_n}{n+1},\quad n\ge0,
e da condição inicial y(0)=2 obtemos
a_0 = 2.

Passo 5

Aplicando recursivamente a fórmula de recorrência:
a_1 = -\frac{a_0}{1} = -2,\quad a_2 = -\frac{a_1}{2} = \frac{2}{2},\quad a_3 = -\frac{a_2}{3} = -\frac{2}{3!},\;\dots
Em geral percebe-se que
a_n = 2\,\frac{(-1)^n}{n!}.

Passo 6

Logo a solução em série é
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}2\,\frac{(-1)^n}{n!}\,x^n =2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^n}{n!} =2\,e^{-x}.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x)=2\,e^{-x}.

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