Use séries de potências para resolver, em cada caso, o problema de valor inicial:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, usando séries de potências em torno de
, o problema de valor inicial
com condição
. Vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências
e determinar os coeficientes
a partir da equação diferencial e da condição inicial.
Passo 2
Derivando termo a termo a série proposta, obtemos
Passo 3
Substituindo
e
na equação diferencial, temos
Como essa igualdade vale para todo
, os coeficientes de
devem anular-se:
Passo 4
Da relação de recorrência acima segue
e da condição inicial
obtemos
Passo 5
Aplicando recursivamente a fórmula de recorrência:
Em geral percebe-se que
Passo 6
Logo a solução em série é
Resposta
A solução do problema de valor inicial é