Encontre, em cada caso, uma série de potências em x, que represente as funções, encontrando o intervalo de convergência:
f(x)=\arctan e^{x}.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências (Maclaurin) de
f(x)=\arctan\bigl(e^{x}\bigr)
em torno de x=0, e também o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.
Conteúdo: séries de Taylor/Maclaurin e composição de séries. Precisamos das séries conhecidas de \arctan u e de e^{x}, e depois usar a substituição u=e^{x} e combinar as somas.

Passo 2

Começamos lembrando duas séries padrões:
\arctan u = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{u^{2k+1}}{2k+1} \quad\text{para }\lvert u\rvert\le1,
e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} \quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Fazendo u=e^{x} na série de \arctan u obtemos
f(x)=\arctan\bigl(e^{x}\bigr) =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{e^{(2k+1)x}}{2k+1}.
Agora expandimos cada exponencial:
e^{(2k+1)x} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\bigl((2k+1)x\bigr)^{n}}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2k+1)^{n}}{n!}\,x^{n}.
Logo
f(x) =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{1}{2k+1} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2k+1)^{n}}{n!}\,x^{n}.

Passo 4

Trocando a ordem de soma (válido em região de convergência) e coletando coeficientes de x^{n},
f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\Biggl[\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{(2k+1)^{n}}{2k+1}\Biggr]x^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n},
onde
a_{n} =\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(2k+1)^{\,n-1}, \qquad a_{0}=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Para o raio de convergência R usamos que a composição é analítica até o primeiro ponto singular complexo de \arctan z, que ocorre em z=\pm i. A equação e^{x}=i x=i\pi/2+2\pi i n, de módulo mínimo \pi/2. Portanto o raio de convergência é
R=\frac{\pi}{2},
isto é, a série converge para \lvert x\rvert<\pi/2.

Resposta

\arctan\bigl(e^{x}\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}\Biggl[\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(2k+1)^{\,n-1}\Biggr]x^{n},
com
\displaystyle a_{0}=\frac{\pi}{4} e
\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^\infty(-1)^{k}(2k+1)^{n-1} para n\ge1,
e raio de convergência \;R=\pi/2.

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