Encontre, em cada caso, uma série de potências em
, que represente as funções, encontrando o intervalo de convergência:
.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potências (Maclaurin) de
em torno de
, e também o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.
Conteúdo: séries de Taylor/Maclaurin e composição de séries. Precisamos das séries conhecidas de e de
, e depois usar a substituição
e combinar as somas.
Conteúdo: séries de Taylor/Maclaurin e composição de séries. Precisamos das séries conhecidas de
Passo 2
Começamos lembrando duas séries padrões:
Passo 3
Fazendo
na série de
obtemos
Agora expandimos cada exponencial:
Logo
Passo 4
Trocando a ordem de soma (válido em região de convergência) e coletando coeficientes de
,
onde
Passo 5
Para o raio de convergência
usamos que a composição é analítica até o primeiro ponto singular complexo de
, que ocorre em
. A equação
dá
, de módulo mínimo
. Portanto o raio de convergência é
isto é, a série converge para
.
Resposta
com
e
para
,
e raio de convergência .
e raio de convergência