Encontre, em cada caso, uma série de potências em x, que represente as funções, encontrando o intervalo de convergência:
f(x)=\frac{3}{3+x}.

Passo 1

O enunciado pede uma representação em série de potências de
f(x)=\frac{3}{3+x}
O conteúdo principal é a série geométrica: para |r|<1 vale
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty}r^n.
Vamos usar essa fórmula fazendo r adequar-se a \frac{3}{3+x}.

Passo 2

Escrevemos f(x) de modo a ter um denominador na forma 1-r. Observe que
\frac{3}{3+x} =\frac{3}{3\bigl(1+\tfrac{x}{3}\bigr)} =\frac{1}{1+\tfrac{x}{3}} =\frac{1}{1-(-\tfrac{x}{3})}.

Passo 3

Aplicando a série geométrica com r=-\tfrac{x}{3}, obtemos
f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{x}{3}\Bigr)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{n}}{3^{n}}.

Passo 4

A condição de convergência da série geométrica é \lvert r\rvert<1, aqui
\bigl|-\tfrac{x}{3}\bigr|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<3.

Resposta

\frac{3}{3+x} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{n}}{3^{n}}, \qquad |x|<3.

Exercícios relacionados