Encontre, em cada caso, uma série de potências em x, que represente as funções, encontrando o intervalo de convergência:
f(x)=\frac{1}{1-x}.

Passo 1

O enunciado pede para escrever \frac{1}{1-x} como uma série de potências em x e determinar seu intervalo de convergência. O conteúdo principal aqui é o desenvolvimento em série geométrica e o uso do teste da razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Lembrando a série geométrica: para qualquer r real,
\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}
desde que \lvert r\rvert<1.

Passo 3

Basta tomar r=x. Assim obtemos
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\,,
válido sempre que \lvert x\rvert<1.

Passo 4

Para confirmar o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão a a_{n}=x^{n}:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\lvert x\rvert =\lvert x\rvert<1.
Logo a série converge para \lvert x\rvert<1, ou seja, x\in(-1,1).

Resposta

\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n},\quad\text{para }x\in(-1,1).

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