Encontre, em cada caso, uma série de potências em x, que represente as funções, encontrando o intervalo de convergência: f(x)=\frac{1}{1-x}.
Passo 1
O enunciado pede para escrever \frac{1}{1-x} como uma série de potências em x e determinar seu intervalo de convergência. O conteúdo principal aqui é o desenvolvimento em série geométrica e o uso do teste da razão para encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Lembrando a série geométrica: para qualquer r real,
\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}
desde que \lvert r\rvert<1.
Passo 3
Basta tomar r=x. Assim obtemos
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\,,
válido sempre que \lvert x\rvert<1.
Passo 4
Para confirmar o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão a a_{n}=x^{n}: