Encontre o valor das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{2 n-1}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{2n-1}.
O conteúdo aqui é séries de potências, e vamos usar a série geométrica e a sua derivada para obter uma expressão fechada. Vale lembrar que a convergência ocorre para \lvert x\rvert<1.

Passo 2

Observe que x^{2n-1}=x^{-1}\,(x^2)^n. Logo,
\sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{2n-1} = x^{-1}\sum_{n=1}^{\infty} n\,(x^2)^n.

Passo 3

Sabemos que, para \lvert z\rvert<1,
\sum_{n=1}^{\infty} n\,z^n =\frac{z}{(1-z)^2}.

Passo 4

Basta fazer z = x^2 na fórmula acima:
\sum_{n=1}^{\infty} n\,(x^2)^n =\frac{x^2}{\bigl(1 - x^2\bigr)^2}.

Passo 5

Substituindo de volta em x^{-1}\sum_{n=1}^{\infty}n\,(x^2)^n, temos
\sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{2n-1} = x^{-1}\,\frac{x^2}{(1-x^2)^2} = \frac{x}{(1-x^2)^2}.

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{2n-1} =\frac{x}{(1-x^2)^2},\quad \lvert x\rvert<1.

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