Encontre, em cada caso, uma série de potências em x, que represente as funções, encontrando o intervalo de convergência:
f(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para representar
f(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}}
por uma série de potências em x e determinar seu intervalo de convergência. O conteúdo envolvido é a expansão em série de Taylor (ou de potências) usando a série geométrica e derivação termo a termo.

Passo 2

Começamos lembrando a série geométrica clássica: para \lvert x\rvert<1
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}.

Passo 3

Para obter \frac{1}{(1-x)^{2}} basta derivar em x a expressão acima. De um lado,
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{1-x}\Bigr)=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
De outro lado, derivando termo a termo
\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}n\,x^{n-1} =\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1}.

Passo 4

Reindexando a série para escrever em potências de x^{k}: seja k=n-1. Então n=k+1 e
\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1} =\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)\,x^{k}.
Logo,
\frac{1}{(1-x)^{2}} =\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)\,x^{k}.

Passo 5

A diferenciação termo a termo não altera o raio de convergência da série geométrica original, que é \lvert x\rvert<1. Portanto, o intervalo (ou raio) de convergência permanece
\lvert x\rvert<1.

Resposta

\frac{1}{(1-x)^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,x^{n}, \quad\text{para }\lvert x\rvert<1.

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