Encontre, em cada caso, uma série de potências em
, que represente as funções, encontrando o intervalo de convergência:
.
Passo 1
O enunciado pede para representar
por uma série de potências em
e determinar seu intervalo de convergência. O conteúdo envolvido é a expansão em série de Taylor (ou de potências) usando a série geométrica e derivação termo a termo.
Passo 2
Começamos lembrando a série geométrica clássica: para
Passo 3
Para obter
basta derivar em
a expressão acima. De um lado,
De outro lado, derivando termo a termo
Passo 4
Reindexando a série para escrever em potências de
: seja
. Então
e
Logo,
Passo 5
A diferenciação termo a termo não altera o raio de convergência da série geométrica original, que é
. Portanto, o intervalo (ou raio) de convergência permanece