Encontre, em cada caso, uma série de potências em x, que represente as funções, encontrando o intervalo de convergência:
f(x)=-\ln (1-x).

Passo 1

O enunciado pede a série de potências em x que represente
f(x) = -\ln(1-x)
e seu intervalo de convergência. O conteúdo principal aqui é usar a série geométrica e integrar termo a termo para obter a expansão do logaritmo.

Passo 2

Lembramos que, para \lvert x\rvert<1, vale a série geométrica
\frac{1}{1-x} \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}x^n.
Essa é a base para gerar séries de potências de funções mais complicadas, integrando ou diferenciando termo a termo.

Passo 3

Integramos ambas as expressões em relação a um parâmetro t de 0 a x. Do lado esquerdo:
\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\,dt = -\ln\bigl(1-t\bigr)\Big|_{0}^{x} = -\ln(1-x).
Do lado direito, integramos série por série (válido para \lvert x\rvert<1):
\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}t^n\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}t^n\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}.

Passo 4

Fazendo a mudança de índice m=n+1, a soma fica
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1} =\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^m}{m}.
Portanto encontramos a expansão
-\ln(1-x)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^m}{m}.

Passo 5

O raio de convergência dessa série vem do fato de partirmos da geométrica ( R=1). Logo ela converge para \lvert x\rvert<1. Em x=1 a série vira a série harmônica (diverge) e em x=-1 vira série alternante convergente (condicional).

Resposta

-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}, \quad\text{para }|x|<1.
Intervalo de convergência: |x|<1 (condicional em x=-1, diverge em x=1).

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