Encontre, em cada caso, uma série de potências em
, que represente as funções, encontrando o intervalo de convergência:
.
Passo 1
O enunciado pede a série de potências em
que represente
e seu intervalo de convergência. O conteúdo principal aqui é usar a série geométrica e integrar termo a termo para obter a expansão do logaritmo.
Passo 2
Lembramos que, para
, vale a série geométrica
Essa é a base para gerar séries de potências de funções mais complicadas, integrando ou diferenciando termo a termo.
Passo 3
Integramos ambas as expressões em relação a um parâmetro
de
a
. Do lado esquerdo:
Do lado direito, integramos série por série (válido para
):
Passo 4
Fazendo a mudança de índice
, a soma fica
Portanto encontramos a expansão
Passo 5
O raio de convergência dessa série vem do fato de partirmos da geométrica (
). Logo ela converge para
. Em
a série vira a série harmônica (diverge) e em
vira série alternante convergente (condicional).
Resposta
Intervalo de convergência:
(condicional em
, diverge em
).