Encontre, em cada caso, uma série de potências em
, que represente as funções, encontrando o intervalo de convergência:
.
Passo 1
O enunciado pede a série de potências (Maclaurin) de
e o intervalo de convergência. O conteúdo envolve usar as expansões conhecidas de
e
para
.
Passo 2
Lembramos que, para
, vale
e também
Passo 3
Escrevemos
Substituindo as duas séries, obtemos
Passo 4
Note que
quando
é par, e
quando
é ímpar. Logo só ficam os termos de
,
:
Passo 5
Esta expansão é válida enquanto as séries de
convergem, i.e.\ para
. Nos extremos
ela diverge (série harmônica ou alternada não tende a zero). Portanto o intervalo de convergência é