Encontre, em cada caso, uma série de potências em
, que represente as funções, encontrando o intervalo de convergência:
.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potências de
e também o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar séries de potências e diferenciação termo a termo.
Passo 2
Lembramos que, para
, a série geométrica é
Tomando
, obtemos
Passo 3
Note que
Como a diferenciação termo a termo é válida dentro do raio de convergência, derivamos a série de
:
O termo
é zero, então podemos reindexar somando de
a
.
Passo 4
Reindexando com
(ou diretamente observando que produz apenas potências ímpares), obtemos
Em forma expandida:
Passo 5
O raio de convergência vem de
, ou seja
. Nos pontos finais
a série não converge (os termos não tendem a zero). Logo o intervalo de convergência é