Encontre, em cada caso, uma série de potências em x, que represente as funções, encontrando o intervalo de convergência:
f(x)=-\frac{2 x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências de
f(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}
e também o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar séries de potências e diferenciação termo a termo.

Passo 2

Lembramos que, para |u|<1, a série geométrica é
\frac{1}{1+u} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,u^n.
Tomando u=x^2, obtemos
\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,x^{2n}.

Passo 3

Note que
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac1{1+x^2}\Bigr) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} = f(x).
Como a diferenciação termo a termo é válida dentro do raio de convergência, derivamos a série de \tfrac1{1+x^2}:
\frac{d}{dx}\biggl(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,x^{2n}\biggr) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot 2n\,x^{2n-1}.
O termo n=0 é zero, então podemos reindexar somando de n=1 a \infty.

Passo 4

Reindexando com k=n-1 (ou diretamente observando que produz apenas potências ímpares), obtemos
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\,2n\,x^{2n-1} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}2(k+1)\,x^{2k+1}.
Em forma expandida:
f(x) = -2x + 4x^3 - 6x^5 + 8x^7 - \cdots.

Passo 5

O raio de convergência vem de \lvert x^2\rvert<1, ou seja \lvert x\rvert<1. Nos pontos finais x=\pm1 a série não converge (os termos não tendem a zero). Logo o intervalo de convergência é
(-1,1).

Resposta

f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}\,2(k+1)\,x^{2k+1} \quad\text{para}\quad |x|<1.

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