Encontre em cada caso os valores de k que tal que os seguintes sistemas
  • única solução.
  • infinitas soluções.
  • nenhuma solução.
    lk x+y+z=1 x+k y+z=k x+y+k z=k^2

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear paramétrico
k x + y + z = 1, x + k y + z = k, x + y + k z = k^2,
e pede os valores de k para que haja única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos usar a matriz de coeficientes
A = k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k
e o vetor dos termos independentes l(1,k,k^2r)^T, aplicando o teorema de Rouché–Capelli.

Passo 2

Calculamos o determinante de A.
det(A)= k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k = k^3-3k+2 = (k-1)^2(k+2)
Se det(A)neq 0, o sistema tem posto máximo e, portanto, única solução. Logo:
det(A)neq 0 ;Long<=ftrightarrow; kneq 1,;-2
dá o caso de única solução.

Passo 3

Para
e o sistema fica
Todas as três equações coincidem e o vetor e o posto ampliado são iguais (ambos 1) e há infinitas soluções para

Passo 4

Para k=-2 temos
A=-2&1&11&-2&11&1&-2, det(A)=0,
e os termos independentes formam (1,,-2,,4)^T. Somando as três equações do sistema:
(-2+1+1)x + (1-2+1)y + (1+1-2)z = 1 -2 +4 Longrightarrow 0 = 3,
o que é uma contradição. Logo o posto ampliado é maior que o posto de A e não há solução, ou seja, nenhuma solução para
k=-2

Resposta

única solução: kneq 1,-2
infinitas soluções: k=1
nenhuma solução: k=-2

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