19^circ ) Questão.

Determine uma série geométrica infinita cuja soma é 6 e tal que cada termo seja 4 vezes a soma de todos os termos que o sucedem.

Passo 1

O enunciado pede uma série geométrica infinita cuja soma é 6 e em que cada termo seja 4 vezes a soma de todos os termos que o sucedem. O conteúdo envolvido é soma de série geométrica infinita e soma de “cauda” de uma série geométrica.

Passo 2

Seja a o primeiro termo e r a razão da série geométrica. A soma infinita é
S = a1-r = 6

Passo 3

A soma de todos os termos que sucedem ao termo genérico ar^n é
sumk=n+1^infty ar^k = ar^n+11-r
A condição “cada termo é 4 vezes essa soma” significa
ar^n = 4 cdot ar^n+11-r

Passo 4

Simplificando a equação de passo anterior, dividindo por ar^nneq0, obtemos
1 = 4r1-r Longrightarrow 1-r = 4r Longrightarrow r = tfrac15

Passo 5

Substituindo r = tfrac15 na soma a/(1-r)=6, temos
a1-tfrac15 = 6 Longrightarrow atfrac45 = 6 Longrightarrow a = 6cdot 45 = 245

Passo 6

Portanto a série geométrica infinita é
sumn=0^infty 245l(15r)^n =245+2425+24125+cdots
que satisfaz soma 6 e a condição dada.

Resposta

A série é
sumn=0^infty 245l(15r)^n

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