) Questão.
Determine uma série geométrica infinita cuja soma é 6 e tal que cada termo seja 4 vezes a soma de todos os termos que o sucedem.
Passo 1
O enunciado pede uma série geométrica infinita cuja soma é 6 e em que cada termo seja 4 vezes a soma de todos os termos que o sucedem. O conteúdo envolvido é soma de série geométrica infinita e soma de “cauda” de uma série geométrica.
Passo 2
Seja
o primeiro termo e
a razão da série geométrica. A soma infinita é
Passo 3
A soma de todos os termos que sucedem ao termo genérico
é
A condição “cada termo é 4 vezes essa soma” significa
Passo 4
Simplificando a equação de passo anterior, dividindo por
, obtemos
Passo 5
Substituindo
na soma
, temos
Passo 6
Portanto a série geométrica infinita é
que satisfaz soma
e a condição dada.
Resposta
A série é