Encontre para cada uma das curvas o vetor tangente, o vetor normal e a curvatura.
r(t)=2 t i+t^2 j+13 t^3 k

Passo 1

O enunciado pede para a curva
r(t)=2t,i+t^2,j+tfrac13t^3,k
determinar
  1. o vetor tangente unitário T(t),
  2. o vetor normal principal N(t),
  3. a curvatura kappa(t).
Vamos usar as fórmulas
T(t)=r'(t)|r'(t)|, kappa(t)=|r'(t)timesr''(t)||r'(t)|^3, N(t)=dfracdTds|dfracdTds|,
sabendo que ds=|r'(t)|,dt.

Passo 2

Calcular r'(t) e sua norma.
r'(t)=ddtl(2t,,t^2,,tfrac13t^3r) =(2,;2t,;t^2)
Sua norma é
|r'(t)| =raiz2^2+(2t)^2+(t^2)^2 =raiz4+4t^2+t^4 =raiz(t^2+2)^2 =t^2+2(positiva)

Passo 3

Obter o vetor tangente unitário T(t):
T(t) =1t^2+2,(2,;2t,;t^2) =l(2t^2+2,;2tt^2+2,;t^2t^2+2r)

Passo 4

Calcular r''(t), o produto vetorial e a curvatura.
r''(t)=ddt(2,,2t,,t^2) =(0,;2,;2t)
O produto vetorial é
r'timesr'' = i&j&k 2&2t&t^2 0&2&2t =(2t^2),i-4t,j+4,k,
cuja norma é
|r'timesr''| =raiz(2t^2)^2+(-4t)^2+4^2 =2,(t^2+2)
Logo a curvatura é
kappa(t) =2,(t^2+2)(t^2+2)^3 =2(t^2+2)^2

Passo 5

Determinar o vetor normal N(t). Primeiro computamos dfracdTdt e depois
dTds =1|r'|,dTdt =1t^2+2,dTdt
Ao normalizar por |tfracdTds|=kappa(t) obtemos
N(t) =dfracdTdskappa(t) =1kappa(t)(t^2+2),dTdt ;Longrightarrow; N(t) =l(!-tfrac2tt^2+2,;tfrac2-t^2t^2+2,;tfrac2tt^2+2r)

Resposta

boxed T(t) =l(tfrac2t^2+2,;tfrac2tt^2+2,;tfract^2t^2+2r), N(t) =l(-tfrac2tt^2+2,;tfrac2-t^2t^2+2,;tfrac2tt^2+2r), kappa(t) =tfrac2(t^2+2)^2

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