Encontre a soma da série
sumn=0^infty[4(-3)^n-33^n]

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita
sumn=0^inftyl[4(-3)^n-33^nr]
e pede para encontrar sua soma. O conteúdo aqui é soma de séries geométricas, pois cada termo é combinação de potências de n.

Passo 2

Separemos a soma em duas séries geométricas distintas:
sumn=0^infty4(-3)^n - sumn=0^infty33^n
Note que a primeira é 4sumn=0^infty(-tfrac13)^n e a segunda é 3sumn=0^infty(tfrac13)^n.

Passo 3

Para a série sumn=0^infty(-tfrac13)^n, a razão é r=-tfrac13 e |r|<1, logo
sumn=0^inftyl(-tfrac13r)^n =11-(-tfrac13) =11+tfrac13 =1tfrac43 =34
Multiplicando pelo fator 4 do numerador, obtemos
4sumn=0^inftyl(-tfrac13r)^n =4cdot34 =3

Passo 4

Para a série sumn=0^infty(tfrac13)^n, a razão é r=tfrac13 e |r|<1, logo
sumn=0^inftyl(tfrac13r)^n =11-tfrac13 =1tfrac23 =32
Multiplicando pelo fator 3 do numerador, obtemos
3sumn=0^inftyl(tfrac13r)^n =3cdot32 =92

Passo 5

Subtraindo as duas somas, a soma total da série é
3 - 92 =62-92 =-32

Resposta

-tfrac32

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