Encontre para cada uma das curvas o vetor tangente, o vetor normal e a curvatura.
r(t)=e^t i+e^-t j+raiz2 t k

Passo 1

O enunciado pede para a curva
vec r(t)=e^t,i+e^-t,j+raiz2,t,k
calcular o vetor tangente unitário T(t), o vetor normal unitário N(t) e a curvatura kappa(t). Vamos usar as definições
T=dfracvec r'|vec r'|,
N=dfracdT/dt|dT/dt| e
kappa=dfrac|dT/dt||vec r'|.

Passo 2

Calculemos vec r'(t) e seu módulo. Derivando componente a componente,
vec r'(t)=e^t,i-e^-t,j+raiz2,k
O quadrado do módulo é
|vec r'(t)|^2=e^2t+e^-2t+2=(e^t+e^-t)^2,
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|vec r'(t)|=e^t+e^-t

Passo 3

O vetor tangente unitário é
T(t)=vec r'(t)|vec r'(t)| =e^t,i-e^-t,j+raiz2,ke^t+e^-t

Passo 4

Derivamos T(t) em relação a t usando a regra do quociente. O resultado simplificado é
dTdt =2,i+2,j-raiz2,(e^t-e^-t),k(e^t+e^-t)^2

Passo 5

Calculamos o módulo de dT/dt:
|dTdt| =raiz2,e^t+e^-t,
Assim o vetor normal unitário é
N(t) =dT/dt|dT/dt| =2,i+2,j-raiz2(e^t-e^-t),k raiz2,(e^t+e^-t) =raiz2,e^t+e^-t,,i +raiz2,e^t+e^-t,,j -e^t-e^-t,e^t+e^-t,,k

Passo 6

Finalmente, a curvatura vem de
kappa(t) =|dT/dt||vec r'(t)| =raiz2e^t+e^-t,e^t+e^-t, =raiz2(e^t+e^-t)^2

Resposta

T(t) =e^t,i-e^-t,j+raiz2,ke^t+e^-t, N(t) =raiz2,i+raiz2,j-(e^t-e^-t),k,e^t+e^-t,, kappa(t) =raiz2(e^t+e^-t)^2

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