Encontre a soma da série
sumn=1^infty 1(n+1)(n+2)

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
sumn=1^infty 1(n+1)(n+2)
O conteúdo principal é séries telescópicas, e vamos usar frações parciais para transformar cada termo numa diferença simples.

Passo 2

Aplicamos frações parciais ao termo geral:
1(n+1)(n+2) =An+1+Bn+2
Igualando numeradores temos
1 = A(n+2) + B(n+1)
Para todos n, escolhemos valores convenientes:
  • Se n=-1: 1 = Acdot1 + Bcdot0 Rightarrow A=1.
  • Se n=-2: 1 = Acdot0 + Bcdot(-1) Rightarrow B=-1.
    Logo
1(n+1)(n+2) = 1n+1 - 1n+2

Passo 3

Escrevemos a soma parcial até N:
SN = sumn=1^Nl(1n+1 - 1n+2r)
Isso é telescópico, pois muitos termos se cancelam:
SN = l(12-13r) +l(13-14r) +cdots +l(1N+1-1N+2r) = 12 - 1N+2

Passo 4

Para obter a soma infinita, fazemos o limite quando Ntoinfty:
sumn=1^infty 1(n+1)(n+2) = limNtoinfty SN = limNtoinftyl(12-1N+2r) = 12

Resposta

12

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