três questões sobre séries de potências abaixo para responder: \left(^{3}\right)
Intervalo de convergência da série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{7^{n} x^{n}}{n}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{7^{n} x^{n}}{n}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A série é uma série de potências centrada em 0 (os termos têm a forma a_n x^n).
  • Os coeficientes são \dfrac{7^{n}}{n}.
    As perguntas implícitas são: para quais valores de x a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge? Em particular, qual é o intervalo de convergência (conjunto de x reais onde a série converge)?

Passo 2

Reescrever a série de forma mais clara: coloque t=7x. Então
\frac{7^{n} x^{n}}{n}=\frac{t^{n}}{n},
e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{7^{n}x^{n}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^{n}}{n}.
Essa reescrita é útil porque a sequência \left(\dfrac{t^{n}}{n}\right) é a forma clássica da série de potências associada à expansão de -\ln(1-t) (mas só vale quando |t|<1). Antes de usar essa identificação, vamos achar o raio de convergência de maneira direta com um teste padrão.

Passo 3

Usar o teste da raiz (ou razão) para encontrar o raio de convergência. O teste da raiz diz: para uma série \sum a_n, se \rho=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} então a série converge se \rho<1 e diverge se \rho>1. Aqui a_n=\dfrac{7^{n}x^{n}}{n}, logo
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\frac{|7|^{n}|x|^{n}}{n}}=\frac{|7x|}{\sqrt[n]{n}}.
Como \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1, obtemos
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=|7x|.
Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente se
|7x|<1
e diverge se
|7x|>1.
Portanto o raio de convergência (em torno de 0) é
R=\frac{1}{7},
ou seja a série converge para todo x com |x|<\dfrac{1}{7}. Os pontos |x|=\dfrac{1}{7} (os dois extremos) precisam ser analisados separadamente, pois o teste da raiz é inconclusivo quando |7x|=1.

Passo 4

Testar o extremo direito x=\dfrac{1}{7}. Substituindo,
7x=1,
a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{n}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica clássica. Explicando por que diverge: a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} é conhecida por divergir (pode-se ver pela comparação com uma integral ou pelo agrupamento de termos). Assim, em x=\dfrac{1}{7} a série diverge.

Passo 5

Testar o extremo esquerdo x=-\dfrac{1}{7}. Substituindo,
7x=-1,
a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}.
Essa é uma série alternada. Aplicando o critério de Leibniz (teste da série alternada): se (b_n) é uma sequência decrescente com \lim_{n\to\infty}b_n=0, então \sum (-1)^n b_n converge. Aqui b_n=\dfrac{1}{n} é decrescente e tende a 0, portanto \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n} converge. Contudo a série dos valores absolutos é \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}, que diverge, então a convergência em x=-\dfrac{1}{7} é condicional (não é absoluta).

Passo 6

Juntando tudo:
  • Para |x|<\dfrac{1}{7}: converge absolutamente (portanto converge).
  • Em x=\dfrac{1}{7}: diverge.
  • Em x=-\dfrac{1}{7}: converge condicionalmente.
    Conclusão: o intervalo de convergência é o intervalo real que inclui o extremo esquerdo e exclui o direito.

Resposta

\left[-\dfrac{1}{7},\,\dfrac{1}{7}\right)

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