três questões sobre séries de potências abaixo para responder:
Intervalo de convergência da série
.
Intervalo de convergência da série
Passo 1
O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série
Informações dadas que vamos usar:
- A série é uma série de potências centrada em
(os termos têm a forma ). - Os coeficientes são
.
As perguntas implícitas são: para quais valores dea série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge? Em particular, qual é o intervalo de convergência (conjunto de reais onde a série converge)?
Passo 2
Reescrever a série de forma mais clara: coloque
. Então
e a série fica
Essa reescrita é útil porque a sequência
é a forma clássica da série de potências associada à expansão de
(mas só vale quando
). Antes de usar essa identificação, vamos achar o raio de convergência de maneira direta com um teste padrão.
Passo 3
Usar o teste da raiz (ou razão) para encontrar o raio de convergência. O teste da raiz diz: para uma série
, se
então a série converge se
e diverge se
. Aqui
, logo
Como
, obtemos
Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente se
e diverge se
Portanto o raio de convergência (em torno de
) é
ou seja a série converge para todo
com
. Os pontos
(os dois extremos) precisam ser analisados separadamente, pois o teste da raiz é inconclusivo quando
.
Passo 4
Testar o extremo direito
. Substituindo,
a série fica
que é a série harmônica clássica. Explicando por que diverge: a série harmônica
é conhecida por divergir (pode-se ver pela comparação com uma integral ou pelo agrupamento de termos). Assim, em
a série diverge.
Passo 5
Testar o extremo esquerdo
. Substituindo,
a série fica
Essa é uma série alternada. Aplicando o critério de Leibniz (teste da série alternada): se
é uma sequência decrescente com
, então
converge. Aqui
é decrescente e tende a
, portanto
converge. Contudo a série dos valores absolutos é
, que diverge, então a convergência em
é condicional (não é absoluta).
Passo 6
Juntando tudo:
- Para
: converge absolutamente (portanto converge). - Em
: diverge. - Em
: converge condicionalmente.
Conclusão: o intervalo de convergência é o intervalo real que inclui o extremo esquerdo e exclui o direito.