Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n(n+2)}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n(n+2)}
converge ou diverge, justificando. As informações dadas são apenas a expressão do termo geral
a_n=\frac{n+1}{n(n+2)},\qquad n=1,2,3,\dots
A tarefa é decidir convergência ou divergência e explicar por quê.

Passo 2

Primeiro vamos checar a condição necessária para convergência de uma série: o termo geral precisa tender a zero. Calculamos
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n(n+2)}.
Dividindo numerador e denominador por n obtemos
\frac{n+1}{n(n+2)}=\frac{1+\tfrac{1}{n}}{n+2},
portanto
\lim_{n\to\infty} a_n=0.
Isto é necessário, mas não é suficiente: muitos casos (como a série harmônica) têm termos que vão a zero e mesmo assim divergem. Precisamos de um teste mais forte.

Passo 3

Uma boa ideia é decompor a_n\) em frações simples (partial fractions). Procuramos constantes \(A\) e \(B\) tais que \[\frac{n+1}{n(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+2}.
Colocando num único denominador:
\frac{A(n+2)+Bn}{n(n+2)}=\frac{(A+B)n+2A}{n(n+2)}.
Comparando numeradores com n+1 obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] 2A=1. \end{cases}
Da segunda equação A=\tfrac{1}{2}\]. Logo \(B=1-A=\tfrac{1}{2}. Assim
\frac{n+1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+2}\right).]

Passo 4

Com essa forma fica fácil comparar com a série harmônica. Observe que, para n\ge 1,
\frac{n+1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+2}\Big)\ge\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}.
Uma forma simples de ver a desigualdade é partir de
\frac{n+1}{n(n+2)}\ge\frac{1}{2n}
e multiplicar ambos os lados por 2n(n+2)>0, o que reduz a 2(n+1)\ge n+2, ou n\ge0, verdade para n\ge1.
Agora usamos o teste de comparação: a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é conhecida por divergir (por exemplo, pelo argumento por blocos: 1+\tfrac{1}{2}+\big(\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}\big)+\big(\tfrac{1}{5}+\cdots+\tfrac{1}{8}\big)+\cdots\ge 1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}+\cdots=\infty). Como para todo n\ge1 temos a_n\ge\tfrac{1}{2n}, segue que
\sum_{n=1}^{\infty} a_n \ge \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
e pelo teste de comparação a série original diverge.

Passo 5

Para reforçar (método alternativo), podemos também escrever a soma parcial e ver o crescimento explícito. Seja
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{n+1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\Big(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+2}\Big).
Note que \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+2}=H_{N+2}-1-\tfrac{1}{2}, onde H_m é a soma harmônica H_m=\sum_{k=1}^m\frac{1}{k}. Assim
S_N=\frac{1}{2}\big(H_N+H_{N+2}-\tfrac{3}{2}\big).
Usando H_{N+2}=H_N+\tfrac{1}{N+1}+\tfrac{1}{N+2} obtemos a forma mais simples
S_N=H_N+\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}\Big)-\frac{3}{4}.
Como H_N\to\infty quando N\to\infty, segue S_N\to\infty. Portanto a série diverge (os somatórios parciais crescem sem limite).

Passo 6

Resumo prático que dá para levar pra prova: decomponha a_n em frações simples e compare com a harmônica. Aqui veio fácil: a_n=\tfrac{1}{2}(\tfrac{1}{n}+\tfrac{1}{n+2})\ge\tfrac{1}{2n} e a harmônica diverge, logo a série diverge. Força aí — é chato, mas o raciocínio é curtinho e seguro.

Resposta

A série diverge.

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