Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge, justificando. As informações dadas são apenas a expressão do termo geral
A tarefa é decidir convergência ou divergência e explicar por quê.
Passo 2
Primeiro vamos checar a condição necessária para convergência de uma série: o termo geral precisa tender a zero. Calculamos
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
portanto
Isto é necessário, mas não é suficiente: muitos casos (como a série harmônica) têm termos que vão a zero e mesmo assim divergem. Precisamos de um teste mais forte.
Passo 3
Uma boa ideia é decompor
Colocando num único denominador:
Comparando numeradores com
obtemos o sistema
Da segunda equação
. Assim
Passo 4
Com essa forma fica fácil comparar com a série harmônica. Observe que, para
,
Uma forma simples de ver a desigualdade é partir de
e multiplicar ambos os lados por
, o que reduz a
, ou
, verdade para
.
Agora usamos o teste de comparação: a série harmônica
é conhecida por divergir (por exemplo, pelo argumento por blocos:
). Como para todo
temos
, segue que
e pelo teste de comparação a série original diverge.
Passo 5
Para reforçar (método alternativo), podemos também escrever a soma parcial e ver o crescimento explícito. Seja
Note que
, onde
é a soma harmônica
. Assim
Usando
obtemos a forma mais simples
Como
quando
, segue
. Portanto a série diverge (os somatórios parciais crescem sem limite).
Passo 6
Resumo prático que dá para levar pra prova: decomponha
em frações simples e compare com a harmônica. Aqui veio fácil:
e a harmônica diverge, logo a série diverge. Força aí — é chato, mas o raciocínio é curtinho e seguro.
Resposta
A série diverge.