Encontre em cada item a matriz canônica do operador T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} que transforma cada ponto (x, y) na sua:
(b) reflexão na origem.

Passo 1

O enunciado pede a matriz canônica do operador linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2
que leva cada ponto (x,y) à sua reflexão na origem. O conteúdo aqui é transformação linear e matriz em relação à base canônica de \mathbb{R}^2.

Passo 2

A base canônica de \mathbb{R}^2 é
e_1 = (1,0), \quad e_2 = (0,1).
Para encontrar a matriz canônica de T, basta calcular as imagens T(e_1) e T(e_2) e usar esses vetores como colunas da matriz.

Passo 3

Como T é a reflexão na origem, temos
T(x,y) = (-x,-y).
Em particular,
T(e_1)=T(1,0)=(-1,0), \quad T(e_2)=T(0,1)=(0,-1).

Passo 4

Colocando T(e_1) e T(e_2) como colunas, a matriz canônica de T é
A = \begin{pmatrix} -1 & 0\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} -1 & 0\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}

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