(8 pontos) Seja
A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & -1 & 1 \\\\ 5 & 2 & -4 & 3 \end{array}\right)
Encontre bases para os espaços linha, coluna e nulo de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & -1 & 1 \\\\ 5 & 2 & -4 & 3 \end{pmatrix}
e pede bases para os subespaços linha, coluna e nulo de A. Vamos usar eliminação de Gauss para achar a forma escalonada, identificar colunas pivô e variáveis livres, e então extrair as bases.

Passo 2

Aplicando eliminação de Gauss até chegar à forma reduzida por linhas:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & -1 & 1 \\\\ 5 & 2 & -4 & 3 \end{pmatrix} \;\to\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & -3 & 1 \\\\ 0 & -3 & -9 & 3 \end{pmatrix} \;\to\; \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 3 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Dessa forma, o posto de A é 2 e as colunas pivô são as colunas 1 e 2.

Passo 3

Para o espaço coluna, uma base é dada pelas colunas de A correspondentes às colunas pivô. Logo,
\text{base do espaço coluna} = \bigl\{(1,2,5)^T,\,(1,1,2)^T\bigr\}.ç

Passo 4

Para o espaço linha, uma base pode ser obtida pelas linhas não nulas da forma reduzida. Assim,
\text{base do espaço linha} = \{(1,0,-2,1),\,(0,1,3,-1)\}.ç

Passo 5

No espaço nulo, escrevemos a solução geral de A x = 0 a partir da forma reduzida:
x_1 - 2x_3 + x_4 = 0, \quad x_2 + 3x_3 - x_4 = 0,
em que x_3 e x_4 são livres. Tomando x_3 = s, x_4 = t, temos
x = (x_1,x_2,x_3,x_4) = (2s - t,\,-3s + t,\,s,\,t) = s\,(2,-3,1,0) + t\,(-1,1,0,1).
Logo, uma base do nulo é
\{(2,-3,1,0),\,(-1,1,0,1)\}.

Resposta

Base do espaço coluna: (1,2,5)^T,\;(1,1,2)^T
Base do espaço linha: (1,0,-2,1),\;(0,1,3,-1)
Base do espaço nulo: (2,-3,1,0),\;(-1,1,0,1)

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