(Questão 03)[2,0 pontos] Ache uma reta que passa pelo ponto (1,2,3) e que forma ângulos de 45^{\underline{\mathrm{o}}} e 60^{\underline{\mathrm{o}}} com os eixos x e y, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede uma reta que passe por (1,2,3) e forme ângulos de 45^\circ com o eixo x e de 60^\circ com o eixo y. Para isso vamos usar o conceito de cossenos diretores de um vetor diretor \mathbf v=(a,b,c), em que
\cos\alpha = \frac{a}{\|\mathbf v\|},\quad \cos\beta = \frac{b}{\|\mathbf v\|},\quad \cos\gamma = \frac{c}{\|\mathbf v\|},
e vale a relação
\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1.

Passo 2

Chamando \alpha=45^\circ e \beta=60^\circ, temos os dois primeiros cossenos diretores:
l = \cos\alpha = \cos45^\circ = \frac{1}{\sqrt2}, \qquad m = \cos\beta = \cos60^\circ = \frac12.
O terceiro, n=\cos\gamma, é obtido impondo
l^2 + m^2 + n^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\tfrac1{\sqrt2}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac12\Bigr)^2 + n^2 = 1.

Passo 3

Calculando,
\frac12 + \frac14 + n^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad n^2 = 1 - \tfrac34 = \tfrac14 \quad\Longrightarrow\quad n = \pm \tfrac12.
Vamos escolher n=+\tfrac12, que corresponde a formar 60^\circ com o eixo z.

Passo 4

O vetor diretor unitário seria (l,m,n)=(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac12,\tfrac12). Multiplicamos por 2 (qualquer constante não muda a direção) para ter números mais simpáticos:
\mathbf v = 2\,(l,m,n) = \bigl(\sqrt2,\,1,\,1\bigr).

Passo 5

A equação vetorial da reta que passa por P_0=(1,2,3) com vetor diretor \mathbf v=(\sqrt2,1,1) é
\bigl(x,y,z\bigr) = \bigl(1,2,3\bigr) + t\,\bigl(\sqrt2,1,1\bigr).
Em forma paramétrica:
x = 1 + \sqrt2\,t,\quad y = 2 + t,\quad z = 3 + t.
Em forma simétrica:
\frac{x - 1}{\sqrt2} \;=\;\frac{y - 2}{1}\;=\;\frac{z - 3}{1}.

Resposta

\frac{x - 1}{\sqrt2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{1}.
Ou, equivalente,
(x,y,z) = (1,2,3) + t\,(\sqrt2,1,1).

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