Encontre, em cada peculiaridade, o seguinte limite:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{4 x^{3}+2 x^{2}-9}{8 x^{3}+x+2}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to-\infty}\frac{4x^{3}+2x^{2}-9}{8x^{3}+x+2}.
O conteúdo é limite de função racional no infinito, onde vamos analisar termos de maior grau.

Passo 2

Para limites de funções racionais quando x\to\pm\infty, a parte dominante são os termos de maior grau dos polinômios. Nesse caso, tanto o numerador quanto o denominador são de grau 3, com coeficientes principais 4 e 8.

Passo 3

Para ver isso mais claramente, dividimos numerador e denominador por x^{3}:
\frac{4x^{3}+2x^{2}-9}{8x^{3}+x+2} =\frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{8 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}}.
Como x\to -\infty, todos os termos com 1/x, 1/x^{2} ou 1/x^{3} tendem a zero.

Passo 4

Portanto o limite se reduz a
\frac{4}{8}=\frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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