Seja
. Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
definida por uma integral:
O que a questão pede é para calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Para isso, vamos usar uma ferramenta do cálculo chamada Teorema de Leibniz, que ajuda a diferenciar integrais onde os limites de integração dependem das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Segundo o Teorema de Leibniz, se temos uma integral do tipo
, a derivada em relação a
é:
No nosso caso,
que não depende de
, então
. O limite superior é
, e a função dentro da integral é
. Aplicando a fórmula:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Usando o mesmo Teorema de Leibniz, agora o limite superior também depende de
:
Passo 4
Por último, vamos calcular
. Desta vez, o limite inferior depende de
. O Teorema de Leibniz nos diz que:
Mas como
não depende de
,
. O limite inferior é
, então
. Aplicando:
Resposta
As derivadas parciais de
são: