Seja g(x, y, z)=integralraizz^x e^y sen(1t) d t. Calcule partial gpartial x, partial gpartial y e partial gpartial z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função g(x, y, z) definida por uma integral:
g(x, y, z) = integralraizz^x e^y sin(1t) dt
O que a questão pede é para calcular as derivadas parciais de g em relação a x , y e z . Para isso, vamos usar uma ferramenta do cálculo chamada Teorema de Leibniz, que ajuda a diferenciar integrais onde os limites de integração dependem das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular partial gpartial x . Segundo o Teorema de Leibniz, se temos uma integral do tipo integrala(x)^b(x) f(t) dt , a derivada em relação a x é:
ddx integrala(x)^b(x) f(t) dt = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
No nosso caso, a(x) = raizz que não depende de x , então a'(x) = 0 . O limite superior é b(x) = x e^y , e a função dentro da integral é f(t) = sin(1t) . Aplicando a fórmula:
partial gpartial x = sin(1x e^y) cdot e^y - 0 = e^y sin(1x e^y)

Passo 3

Agora, vamos calcular partial gpartial y . Usando o mesmo Teorema de Leibniz, agora o limite superior também depende de y :
partial gpartial y = sin(1x e^y) cdot partialpartial y(x e^y) - 0 = sin(1x e^y) cdot x e^y = x e^y sin(1x e^y)

Passo 4

Por último, vamos calcular partial gpartial z . Desta vez, o limite inferior depende de z . O Teorema de Leibniz nos diz que:
partial gpartial z = f(b(z)) cdot partial b(z)partial z - f(a(z)) cdot partial a(z)partial z
Mas como b(z) = x e^y não depende de z , partial b(z)partial z = 0 . O limite inferior é a(z) = raizz , então partial a(z)partial z = 12raizz . Aplicando:
partial gpartial z = 0 - sin(1raizz) cdot 12raizz = -12raizz sin(1raizz)

Resposta

As derivadas parciais de g são:
partial gpartial x = e^y sin(1x e^y)
partial gpartial y = x e^y sin(1x e^y)
partial gpartial z = -12raizz sin(1raizz)

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