Encontre o campo gradiente das seguintes funções escalar.
f(x, y) = ln(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o campo gradiente da função escalar . Isso faz parte do estudo de Cálculo Multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais e o conceito de gradiente. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar f(x, y) é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado por:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x. A função é:
Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de em relação a u é , e depois multiplicamos pela derivada de u em relação a x, onde .
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y. Fazemos o mesmo processo:

Resposta

O campo gradiente da função é:

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