Encontre o campo gradiente das seguintes funções escalar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o campo gradiente da função escalar
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais e o conceito de gradiente. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado por:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. A função é:
Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
, onde
.
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Fazemos o mesmo processo:
Resposta
O campo gradiente da função
é: