Encontre o campo gradiente das seguintes funções escalar.
f(x, y) = (x + y) arctan(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar o campo gradiente da função escalar . Isso envolve entender o que é o gradiente e como calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar, como , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. No nosso caso, vamos precisar calcular e .

Passo 3

Vamos começar calculando . A função é . Para derivar isso em relação a , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores multiplicados é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Então:
Vamos calcular cada parte:
  1. (já que é constante em relação a )
Então substituindo:

Passo 4

Agora, vamos calcular . A função é . Aqui, derivamos em relação a . Como é uma constante quando derivamos em relação a , fica mais simples:

Resposta

O campo gradiente de é:

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