Encontre o campo gradiente das seguintes funções escalar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar o campo gradiente da função escalar
. Isso envolve entender o que é o gradiente e como calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar, como
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. No nosso caso, vamos precisar calcular
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando
. A função é
. Para derivar isso em relação a
, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores multiplicados é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Então:
Vamos calcular cada parte:
-
(já que é constante em relação a ) -
Então substituindo:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. A função é
. Aqui, derivamos em relação a
. Como
é uma constante quando derivamos em relação a
, fica mais simples:
Resposta
O campo gradiente de
é: