(3 pontos) Esboce o gráfico das curvas de nível da função
para
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar as curvas de nível da função
correspondentes aos níveis
,
e
. O conteúdo é curvas de nível em
, que aqui serão seções cônicas (elipses) centradas na origem.
Passo 2
Para cada valor de
, impomos
Dividindo ambos os lados por
, obtemos a forma padrão de elipse:
Passo 3
Numa elipse escrita como
os semieixos são
ao longo de
e
ao longo de
. Comparando com
vemos que
Passo 4
Agora basta calcular para
,
e
:
- Para
: , . - Para
: , . - Para
: , .
Em cada caso obtemos uma elipse centrada na origem, com semieixos
paralelos aos eixos coordenados.
Resposta
As curvas de nível são as elipses
isto é, elipses concêntricas com semieixos
,
e
, respectivamente.