(3 pontos) Esboce o gráfico das curvas de nível da função f(x, y)=\frac{x^{2}}{4}+y^{2} para k=1,4,9.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas de nível da função
f(x,y)=\frac{x^{2}}{4}+y^{2}
correspondentes aos níveis k=1, 4 e 9. O conteúdo é curvas de nível em \mathbb{R}^2, que aqui serão seções cônicas (elipses) centradas na origem.

Passo 2

Para cada valor de k, impomos
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=k.
Dividindo ambos os lados por k, obtemos a forma padrão de elipse:
\frac{x^{2}}{4k}+\frac{y^{2}}{k}=1.

Passo 3

Numa elipse escrita como
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
os semieixos são a ao longo de x e b ao longo de y. Comparando com
\frac{x^{2}}{4k}+\frac{y^{2}}{k}=1,
vemos que
a=2\sqrt{k}, \quad b=\sqrt{k}.

Passo 4

Agora basta calcular para k=1, 4 e 9:
  • Para k=1: a=2\sqrt{1}=2, b=\sqrt{1}=1.
  • Para k=4: a=2\sqrt{4}=4, b=\sqrt{4}=2.
  • Para k=9: a=2\sqrt{9}=6, b=\sqrt{9}=3.
Em cada caso obtemos uma elipse centrada na origem, com semieixos (a,b) paralelos aos eixos coordenados.

Resposta

As curvas de nível são as elipses
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1,\quad \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=4,\quad \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=9,
isto é, elipses concêntricas com semieixos (2,1), (4,2) e (6,3), respectivamente.

Exercícios relacionados