(3 pontos) Determine o domínio e em seguida esboce o gráfico do domínio da função
f(x, y)=\frac{x}{\sqrt{x+y-1}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x+y-1}}.
Aqui o ponto principal é que para a raiz quadrada estar bem definida no denominador precisamos de duas coisas:
  1. O argumento da raiz deve ser não negativo.
  2. Como está no denominador, o argumento não pode ser zero (para não gerar divisão por zero).
    Ou seja, precisamos de
x+y-1>0.

Passo 2

A desigualdade
x+y-1>0
é equivalente a
y>1-x.
Logo o domínio de f é o conjunto de todos os pares (x,y) tais que y fica estritamente acima da reta x+y=1.

Passo 3

Geometricamente, a reta
x+y=1
tem coeficiente angular -1 e intercepto 1 no eixo y. Como queremos x+y-1>0, estamos falando do semiplano aberto acima (e “para cima à direita”) dessa reta.

Passo 4

Para esboçar:
  1. Desenhe a reta x+y=1 (por exemplo, traçando os pontos (0,1) e (1,0)).
  2. Marque-a como tracejada, pois ela não faz parte do domínio.
  3. Sombreie toda a região acima desta reta – qualquer ponto nessa região satisfaz y>1-x e está no domínio.

Resposta

O domínio de f é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y-1>0\},
isto é, o semiplano aberto definido por
y>1-x.

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